（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

（3）でなぜFを考えているのですか？

00000 (2) 0≤aa2a3aas≤3 386 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a1, a2, 3, 4, (1) 0<al<ar<astas <as<9 α5) の個数を求めよ。 指針 (1) a1, 2,......, α5 はすべて異なるから, 1, 2, ・・・, 個を選び、小さい順にα1, 2,......., α5 を対応させればよい。 → 求める個数は組合せ C5 に一致する。 (3) a1+aztastastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5) 基本 32 8の8個の数字から異なる! (2) (1) とは違って、条件の式にを含むから, 0, 1,2,3の4個の数字から重複を許 して5個を選び,小さい順にα1, 2,........, as を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3)おき換えを利用すると、不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+az+as+a+αs) =bとおくと a1+a2+as+a+αs+b=3 また, a1+a2+as+a+a5≦3から b≥0 よって、基本例題 33(1) と同様にして求められる。 (1)1,2,…………, 8の8個の数字から異なる5個を選び, 小検討 解答 さい順に α1, a2, ......, α5 とすると, 条件を満たす組が 1つ決まる。 よって, 求める組の個数は 8C5=8C3=56 (個) (2)0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小さい順にα1, A2, ......, が1つ決まる。 α5 とすると,条件を満たす組 よって, 求める組の個数は 4H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+α+α5)=bとおくと a1+a2+a3+a+a+b=3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5), 60 ① よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の 組の個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取 る重複組合せの総数に等しく MARK 6H3=6+3-1C3=8C3=56 (個) 別解 a+az+as+a+as=k(k=0, 1, 2, 3) を満たす 0 以上の整数の組 (A1, A2, 3, 4, α5) の数は5Hであ るから 5Ho+5H1+5H2+5H3 =4Co+5C1+6C2+7C3 =1+5+15+35=56 (個) ← 等式 (2)(3)は次のようにして 解くこともできる。 (2)[p.384 検討 PLUS ONE の方法の利用] bi=ai+i(i=1,2,3, 4, 5) とすると, 条件は 0<b<bz<b<ba<bs<9 と同値になる。 よって (1)の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕 切りを並べ、 例えば, |○||〇〇|| の場 合は (0,1,0,2,0) を表すと考える。 このとき |A|B|CD|E|F とすると, A, B, C, D, E の部分に入るO の数をそれぞれ, 2 a3, 4, as とすれば、 組が1つ決まるから 8C3-56 (1) 振り返り ●場合の数を によるのが ●代表的な (a+b)( 2700=2 . . 10人 10人を (ア)特 (イ) 牛 ・10人 異な ・10人 ・3本 ・正 (イ) ・10 . 10 ・a 組

（2）で、なぜ9＋3になるのかが分かりません。教えてくださいよろしくお願いします

●7 重複組合せ A,B,C,D の4種類の缶詰を合わせて9個買うとき, (1) それぞれの缶詰を少なくとも1個は買う場合,買い方は何通りあるか. (2) 買わない缶詰の種類があってもよい場合, 買い方は何通りあるか. 種類ごとにまとめて並べる ← (産業能率大) 理するとしたら、多くの人が「左から A,B,C,D の順に、同じ種類の缶詰をまとめて並べる」とする 同じ買い方か違う買い方かが一目でわかるように(買った缶詰を)整 のではないか.例えば,Aを3個, Bを4個 Cを1個,Dを1個ならAAABBBBCDとなる.そして, この文字列は, AとBの境,BとCの境, C とDの境が決まれば決まる (復元できる). 000100001010 つまり右のように A~Dを〇境を仕切りで表せば,9個の○と3個のの並びと対応する. (1)は,仕切りが両端にはなく,かつ隣り合わない。 (2) は並び順は自由である.このような○と の並べ方の総数を求める. 解答圜 (1) ○を9個並べておき,○の間 (図の1)8か所 から異なる3か所を選んで仕切りを入れる. 仕切り で区切られた 4か所の○の個数を左から順に A, B, C,D の個数とすると,どの場所にも○は1個以上あ るので題意の買い方と対応する. よって, 求める場合 AAABBBBCD ↑↑↑ |0|000 A B C D 8・7・6 3.2 =56(通り) の数は仕切りの位置の選び方と同じで, 8C3= (2) ○を9個, を3個, 横一列に自由に並べ、 個数 (○がないところは0個) を左から順に A, B, C, D の個数とする. この並べ方と題意の買い方は 対応するから,求める場合の数は, 9+3C3= 9+3つ で区切られた4か所の○の 000||000000 A B C D 12-11-10 =220 (通り) 3・2 ■(2)で,各缶詰を1個ずつ余分に買うとすると, 合わせて13個, 各1個以上な ので (1) と同様にできる (式も 12C3となる). 逆に (1) を各缶詰を1個ずつ減ら して(2)のように解いてもよい。 □Aをx個, Bをy個, Cを2個, Dをw個買うとすると, x+y+z+w=9で, (1)はxwが1以上, (2) は x~w が0以上である. このような~w の組の 個数を求めたことになる. p.25のミニ講座も参照. 買い方を決めれば仕切りの位置 が決まる。仕切りの位置が違え ば違う買い方と対応する。 07 演習題(解答は p.21) 2008 は,各位の数字の和が10になる4桁の自然数である。 (実際に2008 の各位の数字 の和は2+0+0+8=10である.) このように, 各位の数字の和が10になる4桁の自然数 は全部で 個ある. x+y+z+w=10だが

星マークのところの解説お願いします！！

46 重複組合せ 標準解答時間 12分 箱Aには1から4までの整数が書かれたカードが1枚ずつ合計4枚の カードがあり、箱Bには1から8までの整数が書かれたカードが1枚ずつ 合計8枚のカードがあり, 箱Cにも1から8までの整数が書かれたカード が1枚ずつ合計8枚のカードがある. それぞれの箱からカードを1枚ずつ取り出し, 箱 A, B, C から取り出 A,B,C したカードの番号をそれぞれ a b c とする. (1) α > 6となるようなα, bの組 (a, b) は全部で 通りである. (2) a≧bとなるようなα, bの組 (a, b)は全部で イウ通りである. (3) a≧b≧c となるような a, b, c の組 (a, b, c)は全部で エオ|通 りである. (4) a≦b≦c となるような a, b c の組 (a, b, c) は全部で カキク 通りである.

33.1 記述特に問題ないですかね？？

348 基本例題 33 重複組合せの基本 次の問いに答えよ。 ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする。 (1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 作られる組の総数を求めよ。 (2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。 ■p.347 基本事項 解答 (1) 3つの○で数字, 3つので仕切りを表し, 1つ目の仕切りの左側に○があるときは 1つ目と2つ目の仕切りの間に○があるときは 2つ目と3つ目の仕切りの間に○があるときは 3つ目の仕切りの右側に○があるときは を表すとする。 tekn このとき3つの○と3つの|の順列の総数が求める場合の 数となるから 6C320 (通り) (2) 6つの〇でx, y, zを表し、2つので仕切りを表す。 このとき, 6つの○と2つのの順列の総数が求める場合の 数となるから 8C6=gC2=28 (通り) 11361 指針 基本事項で示した„Hy=n+r-Cr を直ちに使用してもよいが,慣れないうちはnと 違いやすい。次のように,○と仕切り」による順列として考えた方が確実。 (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 →3つの○と3つの仕切り | の順列 (2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。 →6つの○と2つの仕切りの順列 検討○と」を使わない重複組合せの別の考え方 別アプ ローチ 練習 ③33 数字 1 数字 2 数字 3 数字 4 このとき ○重要35 (1) 例えば,〇〇|〇| BACK 1 234 れる。 したがって 求める組合せの総数は,C3=20 (通り) である。 で (1,1,3)を表し、 SUB101010 (2) 例えば, 1234 (2,3,4)を表す。 00|0010 00010100 xy 2 xyz2を表す。 (1)で,取り出した数を小さい順に並べ、その各数に 0,1,2を加える。例えば 1,1,3→1,2,5 3,4,4→3,5,6 となる。 このようにしてできる数で最小のものは1+0=1, 最大のものは 4+2=6で あるから 求める組合せの総数は, 1,2,3,4,5,6の6個の数字から3個を取り出す 組合せ 総数は C) に一致すると考えられる。 逆に,このようにしてできる組において, 2, 3 4 2,2, 2; 1,3, 6→ 1,2,4のように,各数から 0, 1,2を引けば、条件を満たす組合せが得ら (1)8個のりんごをA,B,C,D の4つの袋に分ける方法は何通りあるか。 し, 1個も入れない袋があってもよいものとする。 (2)(x+y+z) の展開式の異なる項の数を求めよ。 「基 (1. (2 指針 解 (1) (2) 3 こ C = 別角 C 練

(2)の青丸の部分の意味と、 （3）について教えてください。どうしてＡを置いたのかも教えて頂きたいです！

_35桁の整数nにおいて, 万の位, 千の位, 百の位、十の位,一の位の数 字をそれぞれa, b, c, d, e とするとき, 次の条件を満たすnは何個 あるか。 (1) a>b>c>d>e 0, 1,2, 9 10個の数字から異なる5個を選び,大きい順に , a,b,c,d, e とすると、条件を満たす整数nが1つ定まるから 5 10C5252 (個) (2) a≥b≥c≥dze 0,1,2,… 9の10個の数字から重複を許して5個を選び, 大き い順にa,b,c,d,eとすると, abcde0 を満たす整数 α, b, c, d, e の組を作ることができる。 このうち,a=b=c=d=e=0 の場合は5桁の整数にならないから, 求める整数nの数は 10+5−1C5-1-14C5-1=2002-1=2001 (個) (3) a+b+c+dte≦6 A=α-1 とおくと, a ≧1 であるから また, a = A+1 であるから、条件の式は よって ここで, A≥0 ( A + 1 ) +6+c+d+e≦6 A+b+c+d+e≦5 f=5-(A+6+c+d+e) とおくと, f≧0で A+b+c+d+e+ f=5 ① ...... (5) 求める整数nの個数は, ① を満たす0以上の整数の組 (A, b, c, d, e, f)の個数に等しい｡ ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考えて 65-15=10C5=252 (個)

この問題なのですが、回答では◯と｜を使って解いています。解き方自体は理解できますが、なぜ◯と｜を使おうという考えになるのかをみなさんなりに教えていただきたいです。また、◯と｜を使う決めてもできれば教えたいただきたいです。

5 NIS x.と、Zを整数とする。 0≦X≦YZS6を満たす整数x」と、2の組は □組ある。

(3)の問題を仕切り棒を使ったやり方で教えて欲しいです。 答えは56でした

386 D 重要 例題 34 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組(a1, a2, a3, a, as) の個数を求めよ。 (2) 0≤a₁≤a₂≤a3≤a4≤as (1) 0<a<az<as <a <as <9 (3) ar+a2+ax+a+as≦3, ai≧0(i=1, 2,3,4,5) α5 はすべて異なるから, 1, 2, ......, 8の8個の 個を選び, 小さい順に a1,a2, ・・・・・・,α5 を対応させればよい。 指針 (1) Q1, Q2, 求める個数は組合せ 85 に一致する。 (2) (1) とは違って、条件の式に ・・・ して5個を選び, 小さい順に a1,a2, ......, α5 を対応させれば 求める個数は重複組合せ H5 に一致する。 (3) おき換えを利用すると, 不等式の条件を等式の条件に変更 3-(a1+a2+as+α4+αs)=6とおくと a₁+as+as+ate また, a+a2+as+a+as≦3 から b≧0 よって、 基本例題 33 (1) と同様にして求められる。 ->> 0, 1,2,3の4個 を含むから,

黄チャートの組み合わせの範囲です。 問題文の8次の項とういうところから、イメージがつかなくて分かりません。 わかる方いたら教えてください。よろしくお願いします！🙏🏻 1枚目問題、2枚目回答

重複組合せの基本の栄養 基本例題 29 次の問いに答えよ。ただし,含まれない数字や文字があってもよい。 (1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。この とき,作られる組の総数を求めよ。 x2 x,y,zの3種類の文字から作られる8次の項は何通りできるか。 p.294 基本事項 3 303

（2）と（3）を教えていただきたいです

重要 例題 35 数字の順列 (数の大 一次の条件を満たす整数の組(a1, a2, a3, α4, as) の個数を求めよ。 (1)0<a<az<a <a <as <9 (2) mamaz≦assassas (3) ar+az+a+astas≦3, ai ≧0 (i=1, 2,3,4,5) を選び, 小さい順に a1,a2,......, α5 を対応させればよい。 求める個数は組合せ C5 に一致する。 指針 (1) a1, A2, '....', as はすべて異なるから, 1, 2, ……, 8の8個の数字から異なる5 て5個を選び,小さい順に a1,a2,…… α5 を対応させればよい。 → 求める個数は重複組合せ 4H 5 に一致する。 (2) (1) とは違って, 条件の式に を含むから, 0, 1, 2,3の4個の数字から重複を許し !! (3) おき換えを利用すると,不等式の条件を等式の条件に変更できる。 3-(a+a2+ax+a+α5)=bとおくとa+a2+ax+a+as+b=3 また, a1+a2+as+a+as≦3から 6≥0 よって、 基本例題 34 (1) と同様にして求められる。 解答 (1) 1, 2, ………,8の8個の数字から異なる5個を選び, 小さい 順に α1,a2,.., α5 とすると, 条件を満たす組が1つ決ま る。 よって, 求める組の個数は 8C5=gC3=56 (個) (2) 0,1,2,3の4個の数字から重複を許して5個を選び, 小 さい順に α1, a2, ・・・・・・, as とすると, 条件を満たす組が1つ 決まる。 よって, 求める組の個数は H5=4+5-1C5=8C5=56 (個) (3) 3-(a1+a2+a3+ax+as)=6とおくと a1+a2+ax+a+as+b=3, 1 ai≧0 (i=1,2,3,4,5), b≧0 よって, 求める組の個数は, ① を満たす0以上の整数の組の 個数に等しい。 これは異なる6個のものから3個取る重複組 合せの総数に等しく 6H3=6+3-1C3=gC3=56(個) …….... 別解 a1+a2+ax+a+as=k(k=0, 1,2,3) を満たす0以 上の整数の組(a1,a2,a3, a4, a5 の数は 5H であるから sHo+sHｭ+sH2+5H3=4Co+5C1+6C2+C3 =1+5+15+35=56 (個) |〇|〇〇|| 場合 (0, 1, 0, 2,0)を表すと 考える。このとき, 検討 (2),(3)は次のよ うにして解くこともできる。 (2) [p.348 検討の方法の利 用] bi=aiti(i=1,2,1 4,5)とすると,条件は 0<bｪ<b2<b<ba<b<9 と同値になる。よって (1) の結果から 56個 (3)3個の○と5個の仕切り を並べ,例えば, A|B|C|D|E|F とすると, A, B,C, D. E の部分に入る○の数を れぞれ a1, a2, 3, とすれば組が1つ決まるか ら 8C3=56 (1) 場合の数・ 場合 によるの 代表的な • (a+b) ・2700= 5桁の整数nにおいて,万の位, 千の位, 百の位、十の位, 一の位の数字をそれぞ 練習 35 na,b,c,d,eとするとき,次の条件を満たすnは何個あるか。 (1) a>b>c>d>e (2) a≥b≥c≥dze (3) a+b+c+dte≦6 10人な ・10人を (ア)特 (イ)牛 10人 ・異な 10人 3本 ・正n ・10月 ・10、 • a 3 ･3種 ・x+ (ア) (イ) 組分に ・15 ・15 ・15 ・15 15 ・1 6 }