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16×1925
重要 例題
7 2つの等差数列の共通項
一般項が7n-2である等差数列を {an), 一般項が4n-1である等差数列を
{cm} の一般項を求めよ。
{bn} とする。 {a} と {bm} に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列
CHART & SOLUTION
2つの等差数列{a}, {bm}に共通する項
基本1本1
最大公約数が1であること。
a=bm として,l,mの1次不定方程式を処理
1次不定方程式 ax + by=c (a, b は互いに素) の整数解を求めるには,
1組の解 (p, g) を見つけて α(x-1)+b(y-g)=0 とする。
解答
(新課程チャート式解法と演習数学A 基本例題127 を参
a=bm とすると 71-2=4m-1 よって77-4m=1...... ①
l=-1,m=-2 は ① の整数解の1つである。
よって
①-②から
すなわち
7·(−1)-4・(-2)=1 ......
②
7(+1)-4(m+2=0
7(1+1)=4(m+2)
7と4は互いに素であるから, 1+1は4の倍数である。
ゆえに, kを整数として, 1+1=4k と表される。 これを③
に代入すると m+2=7k
l,m,kは自然数
m≧1 として k≧1にな
らない場合、 注意必
詳しくは解答編
PRACTICE 7in
参照。
6
例題
と25の間
8
CHART &
既約分数の
補集合の
分母が素数の
44
4-11'
25=
① は, 初項
え方で求め
ただし, ①
分母の11に
5-11 6-1
11
これらは、
含まれる整
答
4と25の
よって
l=4k-1,m=7k-2
lmは自然数であるから
k≧1
このとき
a=71-2=7(4k-1)-2=28k-9
これは、数列{c}の第項である。
したがって, 数列{C} の一般項は
Cn=28n-9
これは初
なぜ
INFORMATION
項の書き上げによる解法
るから、
7と4の最小公倍数は 28
{an}:5,12,19,26,33,
・であり,
{bm}:3,7,11, 15, 19,
なぜ
①のう
・であるから
C=19
よって,数列{cm} は初項 19, 公差 28 の等差数列であるから,【公差2つの数列の
その一般項は
en=19+(n-1)・28=28n-9 公差の最小公倍数)
(公道)(
したが
補足一般に,2つの等差数列 (公差はともに正) に共通項があるとき, 共通項を小さ
い順に並べた数列も等差数列となる。
PRACTICE 70
る。 {an}と{bm}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列{c} の一般項を求
一般項が5n+4である等差数列を {an}, 一般項が8n+5である等差数列を {bm} とす
めよ。
PRACT
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