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354
基本 例題 223 係数に文字を含む3次関数
[類 立命館大]
la を正の定数とする。 3 次関数 f(x)=x-2ax2+αxの0≦x≦1 における最大
値M (α) を求めよ。
基本 219 重要 224
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると,y=f(x) のグラフは右図のよう
になる(原点を通る)。ここで, x=/1/3以外にf(x)=f(1/2)を
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
a
よって、1/3,α (/1/<α) が区間0≦x≦1に含まれるかどうか
3'
a
3
<a
a
で場合分けを行う。
y4
f()
O
a
a
f'(x)=3x²-4ax+α²=(3x-a)(x-a)
解答 f(x) = 0 とすると
x=147, a
a
3'
a>0であるから,f(x)の増減表は次のようになる。
以上から
(x)はx=3
M(a)-(
<a<1 すなわ
<a< 2 のとき,
f(x)はx=1で最大と
M(a)=f(1)
0<a
M
Åsas
3
まずは、f'(x)=0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
<a>0から
a
・<a
...
ゆえに
X-
a
x=/1/3であるから
x
x
f'(x) +
a
3
0
f(x) 大
a
0
+
極小
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)2から
(+)-(-a), F(a)=0
3
27
-α
大
= 12/17 を満たすxの値を求めると,
=1/1/3以外にf(x)
4
f(x)=から
4
x³-2ax² + a³x-17 a²=0
x3-2ax2+αx- α=0
(x-3) ( x −
4
27
(*)
a)=0
0=
CLAQ
(*) 曲線 y=f(x) と直線
=は、x=号の
y=
点において接するから、
f(x)-27 a³ 13(x-
3次関数の対称性の利目
樹 344 の参考事項で紹
の値を調べることもで
2つの極値をとる点
座標は
信
X=-
83
23
なお、p.344 で紹介
で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
よって
3
-2a
a²
0-27
a
5
Q2
3
9
x=-
a
5
4
1
a
a²
0
よって,f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ
うになる。
3
9
13
としておきたい。
a
4
3
9
[1] 1< // すなわち α>3のとき
4
1
a
-=
M(a)=f(1)
f(x)はx=1で最大となり
1
a²-2a+1
O
1
・最大
大人の方針。
[1]は区間に極値をとる
xの値を含まず、区間の
右端で最大となる場合
指針」
a
a
x
3
222は正の
