回答

特に順番はないですが(常に同値の条件で式を変形していくので)、一般には次数の低い方から処理していくと間違いにくいでしょう

先に①からp=-1, 1を出したのなら、
④に代入する時に
p=1 では c=c となってcの解が求まりません
なので
「④では p=-1とp=1 の場合分けが必要である」
ということを見落としているのだと思います

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その画像は間違わなかった例でいいのですよね?

①からp=±1として間違った答案を
出してもらえれば答えやすいのですが…

結論は、まず①から考えても間違うことはありません

とれっく

一番から考えるとc=0とc≠0との場合分けになりませんでした

とれっく

このようになってしまいます

まず、③が違いました

また、これは理解しているようにも見えますが、
この問題は
 与えられたb,cに対してg(x)はどうなるか
というものです
b,cの条件で答えるのであって、
自分でおいたp,qという文字の条件は不要です

図に書いたので見てみてください

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