Question

さーな

解説講義の緑線のとこがわからなくてなぜ２番のままで進めては駄目で４番の式にもってく必要があるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

(解答
(i) n=3のとき
1
1 36+9 +4
49
=
(左辺)= +
12
+
22
32
36
36
(i)n=1のとき
51
ではなく,
(右辺)=
=
=
4 3
36
36
(i) n =3のとき
これより, n=3において(*) は成り立つ.
となる
11 1
+ +
・+・・・+
(i)n=k(3) のときに(*) が成り立つと仮定すると,
12 22 32
k² 4 k
数学B 数列
132 数学的帰納法 (不等式)
3以上のすべての自然数nに対して不等式
111
1 7 1
12 22 32
+...+
n2
4
n
が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ、
63-12
7 1
本間はn=3, 4, 5, ・・・ に対して
(*) が成り立つことを示すので、
解説講義
数学B 数列
131 では、数学的帰納法で等式を証明したが、 不等式でも手順は同じである.すなわち,
(i) n=1において証明したい式が成り立つことを示す
(ii)n=kにおいて証明したい式が成り立つと仮定したときに, n = k + 1 でも証明し
たい式が成り立つことを示す
の2つを示せばよい。 ただし, 本間は3以上のについて証明するから、(i)のところは
1ではなくn=3の場合を示すことになる。
で成り立つと仮定した式を用いて式を変形していけば、自ずと n=k+1の場合の式が出て
しかし, 131 の等式の場合に比べると (ⅱ)の段階の証明が難しい。 等式の証明では、n=k
くることがほとんどである. 一方, 不等式の証明ではそうはいかない。 仮定した ①式を用
いても得られる式は②であって, n=k+1 の場合の式である④は得られない。 ①を導く
ためには②と③を組み合わせることになるが,不等式ではこのような “2段階” で示すこ
とが多い。つまり、証明したい式は、
12 22
1
1
+...+
7
k²
1
であるが,仮定を使って得られた式は、
(k+1)²
4 k+1
....④
17 1
1
1
1
...①
+
+... +
1
7
12 22
1
k²
<
1
(k+1)2 4
k
1
である.そこで,もし,
(k+1)
①の両辺に
を足すと,
7
1
(k+1)2
1
+
7
1
4
k
1
1
1
1
1
7
(k+1)2
+
+・・・+
+
・・・②
12
22
k²
(k+1)2
4
k
(k+1)2
ここで,
を示したいと考えて
が示せたとすれば、②と③ から ④は示せたことになる。 そこで、 ②が得られた後に, ③
4
k+1
...3
7
1
1
+
k+1
4
k
(k+1)2
1
1
1
+
k+1
k
(k+1)2
-k(k+1)+(k+1)2-k
この計算をしてみようと
発想するところが最大の
ポイントであり,この計
算を行う理由は解説講義
に書かれている. 少し難
しい部分であるが, しっ
かり理解しておきたいポ
イントである
(
7
7
1
1
+
k+1/
4
k
(k+1)^
を計算し、これが正であることを示そうとしているのである。 不等式の証明では、何を示し
たいのかをしっかりと考えて方針を立てないといけない。
また、数学的帰納法では,
+52-1
は21で割り切れることを示せ」
「すべての自然数nに対して, an=4"+14
というような, 倍数を題材にした問題も頻出である. 131 132 (*)の式のように等式や
不等式が明確に提示されているわけではないが、
(i) α が 21で割り切れることを示す
(ii) ak が 21 で割り切れると仮定して、 αk+1 も21で割り切れることを示す
というように答案を作ればよく, 解答の “骨組み” は変わらない. 数学の勉強は 「解答を暗
記する」のではなく、 「考え方を理解して練習すること」が大切である. 残りの単元も少な
くなってきたが、引き続き, 丁寧な学習を心がけてほしい.
数学の必勝ポイント
数学的帰納法を用いた不等式の証明
“仮定を利用して得られた式” と “示したい式(n=k+1の場合の式) "
を,どのように結びつけるかを考える
k(k+1)2
1
->0
k(k+1)²
であるから,
7
1
1
7
1
+
<
...③
4
k
(k+1)2
4
k+1
が成り立つ. ② ③より,
1 1
1
1
7
1
+...+
+
7
1
<
+
22
k²
(k+1)2 4
k
(k+1)2 4
k+1
となるから,
文系
1 1
1
1
7
+
+...+ +
1
22
k²
...④
(k+1)2
4 k+1
が成り立つ, これより, n = k +1 でも (*) は成り立つ
(i), (ii)より, 3以上のすべての自然数nに対して, (*)は成り立つ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Yoshimarukun

等式の帰納法の証明では、
n=kのときの成立を仮定し、新たな条件式①を得ます。
その後、n=k+1のときの式を変形して行く過程で①を用いることで、n=k+1でも成り立つことを示していきます。

しかし、今回の不等式では仮定より得た新たな条件を利用しn=k+1のときの不等式左辺をまず左側に作ると、右辺には目的の形が現れません。
また、そこから目的の右辺を得るような手法として以下のものが最もシンプルで妥当だからです。

以下はわかっているとは思いますが、おおまかに今回の流れを示しています。読まなくてもいいと思います。
A<Bを示したいのにA<Cという式が出てきてしまったという状態です。
この状況から目的の不等式を示すには
BとCの大小関係にB<CとC<Bのどちらが言えればいいでしょうか？
(a)「A<CかつB<C」と(b)「A<CかつC<B」のどちらでしょう？
(a)のとき、これではAとBはともにCよりは小さいことはわかりますが、AとBの大小関係は確定しません。
(b)であれば、A<C<Bですから、A<Bが得られます。
今回は
A=1/1^2+・・・+1/(k+1)^2
B=7/4-1/(k+1)
C=7/4-1/k+1/(k+1)^2
です。
1/1^2+・・・+1/(k+1)^2<7/4-1/(k+1)
を示したいが、
1/1^2+・・・+1/(k+1)^2<7/4-1/k+1/(k+1)^2
が出てきてしまい、目的の形ではないので

7/4-1/k+1/(k+1)^2 <7/4-1/(k+1)
を示せれば良いので、(右辺)-(左辺)>0を示しにいっています。

さーな

とても詳しく説明してくれてありがとうございました😭