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000
<阪大)
-1020-
72, 173
その
わる。
175 指数関数の最大・最小
数y=キリー2+2 (x2) の最大値と最小値を求めよ。
00000
関数y=6(2+2)-2(4+4) について、 2+2*とおくとき、yを
用いて表せ。 また, yの最大値を求めよ。
株 2次式は基本形 all-p)+αに直す
(1) おき換えを利用。 2t とおくと,yはこの2次式になるから
で解決!
なお、変数のおき換えは、そのとりうる値の範囲に要注意。
(2)
173
281
20に対し、積2.21 (一定) であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均) が利用で
をで表すと, tの2次式になる。 なお、t=2+2の範囲を調べるには, 20
きる。
(1) 2 =t とおくと t>0
したがって
x2であるから 022
0 <t4........
①
の式で表すと
①の範囲において,y
る。t=4のとき
2=4
ゆえ
t=
1/2のとき
1
2x=
2
ゆえに
4p5q22
の
5章
指数関数
=4(2)-4・2*+2=4t-4t+2
At + 2 = 1 (1-12)²+1
=4で最大1=1/2で最小とな
x=2
x=-1
よって x=2のとき最大値50, x=1のとき最小値1
yi
50---
0
最大
最小4
(2) 4+4x=(2x)+(2x)=(2x+2)-2・2・2x=f2-2 2'2'x=2°=1
ゆえに
y=6t-2(t2-2)=-242+6t+4....... ①
2020 であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均) よ 相加平均と相乗平均の関係
り*2x+2≧2√2x.2x = 2 すなわち t≧2... ②
ここで,等号は 2x=2x, すな
わちxxからx=0のとき
成り立つ。
a>0,6>0のとき
a+b
≧vab
2
17
2
最大
(等号は a=bのとき成
17
2
り立つ。)
①から
② の範囲において,yはt=2
のとき最大値8をとる。
0
よって
x=0のとき最大値 8
t
t=2となるのは, (*)で
等号が成り立つときであ
る。
[(イ) 大阪産大]
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
175
y=(2) (1≦x≦2)
(イ) y=4x-2x+2 -1≦x≦3)
a>0, a≠1 とする。 関数y=ax +α_2x-2(a*+αx) +2について,
*+αx=t とおく。 yをtを用いて表し, yの最小値を求めよ。
