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117 3つの数がすべて素数となる条件
重要 例題
nを自然数とする。
だけであることを示せ。
CHART
n,n+2,+4がすべて素数となるのはn=3の場合
[早稲田大〕
| 基本 113
ⓒ S
方針が立てにくい問題
COLUTION
数値を代入して見当をつける
本問の場合、命題が成り立つことを証明す
るために何を示せばよいか, 方針を立てる
のが難しい。 そこで, 5以上の素数nにつ
いて,n+2,n+4の値を調べてみると右の
表のようになり,n+2またはn+4が3の倍数であると見当がつく。
よって, 5以上の素数nについては, n=3k+1,3k+2の場合に分けて,n+2,
n+4のどちらかが素数にならないことを示せばよい。
(4)
(解答)
一
nが素数である場合について考えればよい。
n=2のとき
n
3k+1 または 3k+2
n+2
n+4
n+2=4,n+4=6 は素数ではない。
あるの示
n=3のとき n+2=5, n+4=7 も素数である。 Rogona
が5以上の素数であるとき, nは自然数んを用いて
割ったり
15 で割った余りは0.
5
7 11 13 17 19
7 9 13 15 19 21
9 11 15 17 21 23
とされる。
[1] n=3k+1 のとき
k+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数ではない。
[2] n=3k+2 のとき
{}}
◆n=2, 3,5,7,
n+4=(3k+2)+4=3(k+2)
k+2は3以上の自然数であるから, n+4 は素数ではない。
よって,nが5以上の素数であるとき, n +2 またはn+4 は素
数ではない。
BOSANCRETISKO LA-RO
|_k=1, 2, 3,
THTHOX_HID HOO
n+2=(3k+1)+2=3(k+1)
・・・・(e)g
素数nは3の倍数でな
い。また
415
けられ
3・1=3 は素数であるか
ら、
の断りは重要。
以上から, n, n+2, n+4がすべて素数となるのはn=3の場
ROM
合だけである。
注意 n=2 のとき n+4=6 が3の倍数であるから,これを含めて 「nが3以外の素数
であるとき, n +2 または n +4が3の倍数である」ことを示してもよい。
ただし, その場合はn=3k-1, 3k+1 (kは自然数) のようにしないと n=2 の
場合が表せなくなるので,注意が必要である。
·(1+5)(1+d) { [+b)
+/+*+p+Da+-+9+1) sier
4
1
