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基本 例題 5 二項係数と等式の証明
0000
(1)knCk=nn-1- (n≧2,k=1,2, ......,n) が成り立つことを証明せよ
(2)(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(ア) nCo+nCi+nC2+......+nCy+..+nCz=2"J
(イ)
(ウ)
Co-nCi+nC2+(-1)*nCr++(-1)"nCn=0
Co-2ni+2°C2-+(-2)",Cr+....+(-2)",Ch=(-1)"
(1)公式利用、両辺を変形して同じにする
/p.13 基本事項 4
指針
n!
2Cr=
r!(n-r)!
を利用して, knCk, nn-C をそれぞれ変形する。
(2) (ア)二項定理 (p.13 基本事項4) において, a=1, 6=x とおくと
(1+x)"=nCo+nix+nCzx2+•••••••••••+nCnx"
等式① と, 与式の左辺を比べることにより,①の両辺でx=1とおけばよいこと
に気づく。 同様にして, (イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。
1
章
TR
3次式の展開と因数分解、二項定理
k!(n-k)! (k-1)!(n-k)! &?
n!
(1) knCk=k
(n-1)!
=n°
解答
(n-1)!
nn-1Ck-1=n
したがって
n!=n(n-1)!
. (n-1)!
=n•
(k-1)!{(n-1)-(k-1)}! (k-1)!(n-k)!
knCk=nn-1Ck-1
(2)二項定理により, 次の等式①が成り立つ。
FR
すべてのxの値に対して成り立つ。
①
(1+x)"=nCo+nCx+nC2x2+....+nCrx++nCzxn
(ア)等式① で, x=1とおくと
よって
(1+1)"="Co+nC1・1+C2・12+....+nCr.17+......+nCz1n
nCo+nCi+nCz+......+nCr+......+nCz=2"
(イ)等式①で,x=-1とおくと
(1-1)=nCo+„C1(-1)+2(-1)+…+ny (-1)*+....+nCz(-1)*
よって nCo-nCi+nCz-......+(-1)'nCr++(-1)"nCz=0
(ウ)等式① で, x=-2とおくと
E
(1-2)"="Co+mC・(-2)+nC2(-2)2++nCr(-2)"++nCn・(-2)”
n Co-2nCi+22mC2-+(-2)'nCr+....+(-2)"nCn=(-1)"
よって
参考 pを素数とするとき, (1) から
kpk=ppiCk (p≧2;k=1,2,......, p-1)
この式はCkが必ず で割り切れることを示している。
一人の
② 5
nCnC2
22
練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) *Co-C
(2)が奇数のとき Co+mC2+
(
2n 2 (0€
+nCn-1=nCi+nC+......+nCz=2"-1
+ - + +.....+.. =-1
Jei
5.
+(-1)" nCn = 1
