imagine !
©Disney KCL
142 第2章 2次関数
Think
例題 69
解の存在範囲(1)
*****
2次方程式 x2ax+3a=0 の異なる2つの実数解が,ともに2より
大きくなるような定数αの値の範囲を求めよ.
[考え方 このような2次方程式の解の存在範囲を求めるときは,まず
y=f(x)=x2-2ax+3a
とおいて考える.
2次方程式 f(x) =0 の実数解は, 2次関数 y=f(x)
のグラフとx軸との共有点のx座標である。このこ
とに着目して, 「異なる2つの実数解が, ともに2よ
り大きくなる」場合のグラフはどうなるかを考える。 2-
解答 y=f(x)=x-2ax+3a とおくと,
f(x)=x2-2ax+3a
=(x-a)2-a²+3a
(東京工科大・改)
(2,F(2)
x=2
x=a
a
y=f(x) を平均
より,y=f(x)のグラフは,下に凸の放物線で,
軸が直線 x=α, 頂点が点 (a, -d+3a)
となる.
する.
(S)01
||x=2x=a
f(x) =0 の異なる2つの実数解
が、ともに2より大きくなるのは, (2,2
y=f(x)のグラフが右の図のように
なるときである.
a
48
よって, 求める条件は,
(i) (頂点のy座標) < 0
(ii) 軸が直線 x= 2 より右側
(iii) ƒ (2)>0
である.
(i) -a²+3a<0
a²-3a>0
a(a-3)>0
より
a <0, 3<a......①
(ii) a>2
②
(iii) f(2)=4-4a+3a>0
0(1-3)(+)-
RMO 0-1-+x(-)
910=0
1-3)=
頂点,軸, f (2) 0
に着目する.
(i)は,判別式 D>
より,
4
+20
L=(-a)-30
の両辺に
=a2-3a>0
としてもよい
より
a<4
よって,①~③より,
(3)
3<a<4
(3
数直線上で共通
(2
を確かめる。
3
4
a
Focus
解の存在範囲の問題 (異なる2つの実数解が
より大きい)は、頂点(判別
練習
