ページ3:

余事象
A
1
A
n (A) = n (U) -n (A)
No.
Date.
(練習問題3)1,2,3の3つの数から重複を許して、4つの数字を選び出し、順にab.c
d. とおく。 axDxCxdが偶数となるような、(a,b,c,d)の値の組
は全部で何通りあるか。
81-16
3×3×3×3=81通り、
すべて奇数の場合 2×2×2×2
65通り
16.
=
(練習問題4) 50円玉、100円玉、500円玉の3種類のコインがある。どのコインモ
少なくとも1枚は使うとして、2000円にする場合の数を求めよ。
→そ枚とすると、
50円×枚
100円
→
9,500円
50x+100g+500z=2000.
x+24+108=40.
12=1
2.3
z=1のとき
1+24=30
9-2414
14通り
x=2のとき
x+29=20
y=1~9
9通り、
Z=3のとき
xx+2y=10.
y=1~4
4通り
27通り
KOKUYO LOOSE-LEAF
-S836BT 6 mm ruled x36 lines

ページ4:

No.
Date
and day
さまざまな順列の数
n!の定義
W! = w x (n
n-
xen-2
2) X 111 × 3 ×
2x1
(ηは自然数)
練習問題5) O,2,3,5,7,9の6つの数字をすべて使ってできる6桁の数は
(
何通りあるか
51x5 = 600 (31.
TTTT
5
543
T
T
2
T

ページ5:

順列の数nPr
No.
Date
順列の数nPr:nコの異なるものの中から重複を許さずにコを選び出し、
それぞ列に並べる並べ方の総数。
nPr
n!
(n-r)!
重複順列の数
重複順列の数こいつの異なるものから重複を許してに選び出し、それを使
に並べる並べ方の総数で計算できる。
(練習問題6)男子4人、女2人の計6人が1列に並ぶとき、以下の各場合
の並び方の総数を求める。
(1)女子2人が隣り合う場合
(2)両端が男子の場合、
(3)両端のうち少なくとも端に女子がくる場合。
(1) 5×2
こ
120x
× 2 2
240通り、
(2) 4P2×4=4×3×24=72×4=288通り
(3)61-288=720-288=432通り
(練習問題の)1番から10番まで番号の付いた10つのボールを、AまたはBのそばずれか
の箱に入れていく。これ箱への入れ方は、全部で何通りあるか。
260=1024通り
KOKUYO LOOSE-LEAF ノーS836BT 6mm ruled×36 lines

ページ6:

No.
Date
同じものを含む順列の数
いコのもののうち、Pコノコ、レコがそれぞれ同じものであるとき、それらを例に並べる
並べ方の総数は、
ん!
p.g
通りである。
円順列の数
つの異なるものを円形に並べる並べ方の総数は、
(n-1)!通り
(練習問題8)男子4人、女2人の計6人が円形に並ぶとき、以下の問いに
答え。
(1)この円順列の総数は何通りあるか。
(2)2人の好の間に男子が1人だけ入る並び方は何通りあるか。
(3)2人の好が対面する並び方は何通りあるか。
(1)(6-1)!=5:=120通り、
(2)31×4×2!=6×2×4=48通り、
(3) 4.=24通り、

ページ7:

No.
Date
ard day 組合せの数nCrとその応用、
組合せの数Cr
組合わせの数のCringの異なるものの中から重複を許さずにレコを選び出す選び方
の総数
nCr=rica-r)を計算する、(nCr=
nPr
・の関係がある)
組合せの数nCrの基本公式
11nCo=nCn=1
(1)n C₁ = w
(iii)nCr=nCn-r
(iv)nCv=n-iCr-ith-iCr
(OEVEW)
(練習問題9)男子4人、女4人の計8人から、3人のリレー選手を選ぶ。
次の各場合の数を求める。
(1)全ての場合の数
(2)少なくとも1人は好が選ばれる場合の数
(3)特定の1人が選ばれる場合の数、
(1)8C3=8×7×6=56通り
a
372
(2)1人も好が選ばれなしい→4C3=4通り
56-4
52通り。
62=21通り
(³) 1C2 = 7x63
2x1
KOKUYO LOOSE-LEAF ノ-S8369T 6mm ruled×36 lines

ページ8:

No.
Date
基盤目状の最短距離
(1)→→↑↑
(11)↑
→
↑
41
2121
4C2=42=6通り、
A
(1)(ii)↑↑→→
練習問題1)右図に示すように、池があるので、一部不通ではあるが、基盤目
状の道路が通るが、基盤目状の道路が通る町がある。
この町のP地点からの地点に向かう最短経路の総数を求める。
4×3×2
218
9
a C q =
9887786
=
=126通り
00
841
5 C 2 x 4 C 2 = 5×42 x
126-60=66.通り
(練習問題(1)6人の生徒を次のように3つの組に分ける方法は何通りある
P
(1)ABCという名前のついたろうの組に2人ずつ分ける方法
(1)ただ2人ずつ3つの組に分ける方法、
(2)9冊の異なる絵本を5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は
何通りあるか。
36×52×3×1=15×6=90通り、
CU CU ) b C z x 4 C z x 2 C 2 = 3x5 +0+13× 1 = 15×6=9014.
(ill go=90=15通り
3
6
8x1
SR700×2×1=18×7×6=126×6
(2) 9C5 * 4 C2 C2 = 4 x 3 x 2
=
956通り

ページ9:

No.
Date
4thday 確率の基本
試行・事象・根元事象
試行:何度でも同様のことを繰り返すことのできる行為。
事象:試行の結果起こることがら。
根元事象:事象の中でもこれ以上簡単にならない1つ1つ基本的な事象のこと、
確率の定義
すべての根元事象が同様に確からしいとき、事象Aの起こる確率P(A)は、
P(A) = n(A)
事象の場合の数
n(U) 全事象の場合の数
(練習問題に)
・全事象U.
事象
(1)2枚のコインを同時に投げて、表と裏が出る確率を求める。
(2)A,B2つのサイコロを同時に投げたとき、2つの目の数の和が4の
倍数となる確率を求める。
(1)(表表)(表裏)(裏表)(裏裏)
F
(2)36通り、
2
4つ(2.3)cm2)(3.1)
8 (2,6)(3,5) (4.4)(5,3) (6.2)
12→(6.6)
12
ww
KOKUYO LOOSE-LEAF ノーS836BT
6 mm ruled x 36 lines

ページ10:

No.
Date
確率の加法定理
(1)ADB=DCAとBが互いに排反)のとき。
P(AUB)=P(A)+P(B)
(ii) OB=$CAとBが互いに拝友でない)の仕.
P(AUD)-P(A)+P(B)-P(AOB)
A
(
(練習問題(3) 赤球6コを自球4つの入った袋から無作為に同時に
2つの球を取り出すとき、その取り出した22の球が同色で
ある確率を求める。
24×3
3679
6C2
4C2
××1
+
10C2
110C2
AXI
57279
15+6
21
+5tx9
=
X1
8X1
45
45
15.
練習問題(4)2つのサイコロA、Bを同時に投げて、出た目をそれぞれ
Q.Dとおく。la-613となるか、またはa+b≧9となる
確率を求める。
(a,b)=(1,41)(2,5) (36) (4.1) (5,2)(6.3
(a+b)
=(3.6) (4,5) (5,4)(6,3
(4.6) (5.5) (6.4).
(5,6)(6.5)
(6.6)
6
36
A
36
-
2
14
36
36
18

ページ11:

No.
Date
余事象の確率P(A)
(1) P(A)+P(A)=1
(1)P(A)
(2) P(A)=1-P(A)
練習問題(5)袋の中に、1から5までの数字が書かれた球が2つずつ合計
10コ入っている。このから、無作為に同時に4つの手を取り出すとき、
この4つの球に書かれた数字の積が偶数である確率を求めよ。
すべてが奇数である。
6C4
10CA
36×5
1,3,5,
15
5
1
210
70
14
2×1
=
10×9×8×7
8×3×4
1-1/4
13.
=
14.
KOKUYO LOOSE-LEAF ノーS836BT 6mm ruled×36 lines

ページ12:

No.
Date
5thday 独立な試行の確率と反復試行の確率
独立な試行の確率
互いに独立な試行で、たについて、試行丁、で事象Aが起こり、かつ
試行で事象が起こる確率は、P(A)×P(B)である。
(練習問題16)
(1)コインを1回投げて表が出て、かつサイコロを1回振って1の
目が出る確率を求めよ。
(2)サイコロを3回振って、順に偶数の目、以下の目、5以上
の目が出る確率を求めよ。
(3)a,D2がある試験を受けて合格する確率は、それぞれ
2
3
と
1/4である。このとき、1人だけが合格する確率を求めよ。
(2)/x=/
(2)
(3)
3
2
×
3
X
X
4
3
18
=
7
12

ページ13:

No.
Date
(練習問題(7)
(1)3回コインを投げて、少なくとも1回表の出る確率。
(2)2つのサイコロを同時に振って、2つの出た目の和が
4の倍数になるからの倍数になる確率。
(3)3回コインを投げて、少なくとも1回表が出てもう2つのサイコロを
同時に振って、2つの出た目の和が4の倍数になるか6の
倍数になる確率。
(1)1-fx/x/
2
2
(2)4→(13)(2,2)(3,1)
8(2.6)(3,5)(4.4)(5,3) (6.2)
12→(6.6)
⑥ (24) (3,3)(4.2)(1.5) (51)
4の倍数→9コ
6の倍数→6コ
にの倍数→1コ
49
18
144
15-1-14-
14
18
(練習問題18)サイコロを4回振って、次の確率を求める。
(1)4回とも5以上の目が出る確率
(2)4回中2回だけ5以上の目が出る確率
+
(1) fot of xt of
3
3
3
81
(2)4C2×(3)
2,2
243
I
248
×
=
2×1
9
8127
2015
8.
27
KOKUYO LOOSE LEAF
-S836BT 6 mm ruled x36 lines

ページ14:

No.
Date
反復試行の確率
ある試行を1回行って、事象の起こる確率をとおくと、事象Aの起こらない
確率は、9=1-Dとなる。
この独立な試行を回行って、その内に回だけ事象の起こる確率は、
In Crprq" Ch= 0.1...", n) 212 3.
この確率を、反復試行の確率という。
(練習問題(9)あるサッカーチームのエースストライカーが1回シュートを行って
得点する確率は1/4である。このエースストライカーが5回のシュート
を行って、そのうち2回得点する確率を求める。ただし、5回の
シュートはいずれも同様の条件で行われるものとする。
5×441.27
5 C2 (4)² (2)² = 2 × 1
135
×
64
512
8
(練習問題20)2つの選択肢から1つの正解を選択する選択形式の
問題がら題並んでいる。
この6題に対して、まったくでたらめに(つずつ解答していった
とき、少なくともろ題が正解となる確率を求める。
正解数0
6Co (12
64.1
1
3
3
09
32
32
2
6C21
1626×5.
+
×
=
2x1
64
15
64
+
1-6464
6
15
22
t
42
21
64
64
32
22

ページ15:

No.
Date
(練習問題21)同形の赤球3つ、白コの入った袋から、無作為に12
取出しては元に戻す操作を繰り返す。この試行を行って、取
り出したが赤まじあればなだけ、また自由であれば1だけ、
点がx軸上を動くものとする。初め、動点Pは原点にあるものと
するとき、この試行を4回行った後、点Pが原点10.0)にいる
確率と、点ピム)にいる確率を求める。
(0.0)にいる。
4.C2(+2) (/)=43
(2)にいる。
×
-2x1
25
4.
216
×
25.
-625.
31.8
96
=4×
625
625.
KOKUYO LOOSE-LEAF
ノーS83GBT 6mm ruledx36 lines

ページ16:

No.
Date
6th day 条件付き確率
条件付き確率PA(B)
2つの事象ABに対して、串象が起こったという条件の下で、事象が起こる
条件付き確率PA(B)は、次のような定義される。
PA (B) = P(AND) ... (*1)
ただし、P(A)=0)
P(A)
練習問題の2)20本中2本の当たりの入ったクジを2人の人が順に1本ずつ引く
ものをする。最初に引いた人は、そのクジを元に戻さずに2番目の人が
クジを引く。このとき、当たりを引くことについて、最初にクジを引く人
と、2番目にクジを引く人のいずれが有利となるか、調べる。
I
19
最初の←→1/11/×青==
189x18
19
190
E
190
10
→最初の人を有利・不利なし。
19
105
19°

ページ17:

No.
Dato
確率の乗法定理
PCA(B)=P(A)・PA(B)..(*1)
<練習問題23)同形の赤球6コと自由4つの入った袋から、無作為に2コの球
を取り出すとき、取り出した球が2コとも赤球である確率を次の
管場合について求める。
(1)まず球を1つ取り出し、それを元に戻してから、さらに2つの球を取り出す。
(2)まず球を1つ取り出し、それを元に戻さないで、さらに1つの球を取り出す。
(3)一度にまとめ22コの球を取り出す。
10
×
(1)×
6
36.
a
10
100.
25.
(2)
(3)10
3
15.
45
11/
27
1893
3685
xx1
6C2
1062 510x
(練習問題24)赤いカードが3枚を白いカードが2枚入った箱×、赤いカード
が1枚を白いカードが4枚入ったYがある。
まず、無作為に箱とか箱を選び、その箱の中から1枚のカードを
取り出した結果、そのカードな赤いカードであった。このとき選んだ箱が
Xであった確率を求めよ。
☑
3
t
5
4
2
a
in
KOKUYO LOOSE-LEAF ノーS836BT 6mm ruled×36 lines