【高1数学】三角比⑥ 余弦定理

三角比鈍角の三角比正弦定理と余弦定理三角比の拡張三角形への応用図形の計量

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.11.10 公開

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ノートテキスト

ページ1:

7 余弦定理
(1) 三角形の2辺の長さとその間の角の大きさがわかっている場合、
余弦定理を用いて残りの辺の長さを求めることができます。
a² = b² + c² - 2bc cos A
A
C
b
B
a
C
(2)三角形の3辺の長さがわかっている場合、 余弦定理から3つの
角の大きさを求めることができます。
覚える必要なし
b2+c2-02
COS A
2bc
(3) 三角形 ABC で、 cos A の符号は62 + c2-αの符号と同じに
なるので、62 + c と αの大小によって、4の種類がわかります。
①
b2 + c2 > a?
(cos A > 0)
4は鋭角
②
b2+c2 = a²
(cos A=0)
4は直角
③
C
b2 + c2 < a²
(cos 4 < 0)
Aは鈍角
共テとかで出やすい

ページ2:

【 期末テストに出そうな問題】
1 次のような△ABCにおいて、 指定されたものを求めよ。
(1)a=3,c=2√2、B=45°
(2)a=3,b=5,C=120°
(3)a=1,b=√5,c=√2
のときb
のときc
のとき B
2 a=4,b=5,c=6である△ABCにおいて、最も大きい角の
余弦を求めよ。
〖期末テストに出た問題】
3 △ABCにおいて、 α = √7,b=2,c=3とする。 線分 BCの
中点を M とするとき、 AM の長さを求めよ。

ページ3:

1 余弦定理に代入
● 解答例
(1) a = 3, c = 2√2, B = 45°
2
2
=
a² + c² 2ac cos B
=
=
=
C
32 + (2√2)² -2.3.2√2 co
9+8-12√2..
1
√2
5
b>05 b = √5

ページ4:

2
(2) a 3, b=5, C=120° c² = a² + b² -2abcos C
= 32 +52 -2.3.5 cos 120°
= 9+25-30 ×
= 49
*(-12)
c0より
C =
7
(3) a=1, b = √5, c =
= √√√2
b² = a²+c² - 2ac cos B
(√√5)²=12+(√√2)² -2.1. √2 cos B
2√2 cos B = 2
cos B
0° <B <180° より
=
1
√2
B = 45°

ページ5:

2 最大辺の向かい合う角が最大角
解.cが最大辺だから、 最も大きい角はC。
よって、 余弦定理により
62=42+52-2･4･5cos C
1
整理して
cos C
=
8
3 余弦定理を 2 回 (cosBAM) 使うよ
解 △ABC で、 余弦定理により
22 = 32 + (√7)^ -2 × 3×√7 cos B
よって
cos B
=
2
√
1
A
3
2
B
C
△ABM で、 余弦定理により
AM2=32+(-
M
√7
√7
-2×3×·
× Cos B
2
7
=9+
-3√7×
2
※1 を代入
4
19
=
4
AM >0 より AM
√19
2