Question

lozb

X→1±0で
1枚目下側にあるこのとき、
以降をするのはだめなんでしょうか、、

104
第5章 微分法
基礎問
11-11
59 微分可能性
関数f(z) を次のように定める.
log.x
f(x)={
I
(x≥1)
'+ax+b (x <1)
このとき 関数 f(x) がx=1で微分可能であるように, a, b を定め
よ. ただし, lim
log (1+h)
-=1 は用いてよい。
h→0
h
精講
f(x) がx=αで微分可能とは, f' (a) が存在することを意味しま
すから,ここではf' (1) が存在することを示します.
定義によると lim
h→0
h
(1h)-f(1)=f(1) ですが,1+hと1の
小,すなわち, h0 とん<0 のときでf (1+h) の式が異なるので,h
ん→0 の2つの場合を考え,
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
lim
-=lim
52 左側極限,
ん→+0
h
0-14
h
右側極限
が成りたてば
tmf(1+h)-f(1) が存在する
h→0
ことになり,目標達成です. これだけで a, b の値は求
められますが、ポイントにある性質と,連続の定義を利
使用してαともの式を1つ用意しておくと, ラクにα, b
の値を求められます。
153
まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1)が成りたつ.
x-1
..
lim (x2+ax+b)=0
log1
==0
→1-0
1
よって, 1+a+b=0 ...... ①
このとき
ん→+0
lim ƒ(1+h)− ƒ(1) _
Elim 1/log(1+h)
h
→+ohl
-0
1+h

= lim
1
log (1+h)
=1
h
1th
/(1+h)-f(1)
また, lim
h
9110
lim
h+(a+2)h+α+6+1
h
= lim(h+a+2)=α+2
h1-0
105
lim
(1+h)+α(1+h)+b
h-o
h
<f (1) = 0
<1+a+b=0
(1) が存在するので,a+2=1
①②より, a=-1,b=0
参考
lim
h→0
lim
log (1+h)
h
0-4
......2
-=1 は次のようにして証明します.
f(x)=logx とおくと
log (1+h)
h
-=lim
014
f(1+h)-f(1) = f'(1)
f'(x)=1/2 だから、f'(1)=1
h
微分係数の定義
よって, lim log(1+h) 1
0+4
eh-1
h
lim -=1 も同様にして示せます.
h
0-4
ポイント
関数f(x) が x=αで微分可能
←
→f(x)はx=aで連続
注逆は成りたちません.
参考
y=f(x) のグラフをかくと右図のように
なり、継ぎ目のx=1でなめらかにつなが
っている様子が読みとれます. これが,微
y
logx
y=-
30
y=x^2-x
分可能をビジュアルにとらえた状態です.
O
TC
y=x-1
習問題 59
関数 f(x)=|x|sin は,r=0 で微分可能かどうか調べよ.

lim (og (rth)
h>(+0
lim
4+140
3
V
2th
log⋅ (1th)
1th
h.
lim (eg ((th).
41110
= lim
3
1+140
3
n
th
h
Logg
-
7th
1.
で
#tc. lim ((th)² + a(4th) gh-ah-1.
=
-
1+1-0.
h.
lim K+2h+h - Vatan-a-
4-11-0
lim h+ (ata)h. Min h+ (2+2).
h+1-0
h.
レッド=3ta
微分可能より、3+a=1a=c2.
83+9