【中3数学】円周角の定理の利用（基本証明）🔚

円周角の定理の利用

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Junior High3

▷ 教科書のやつ

2025.12.14 公開

中3 数学円周角の定理相似証明教科書赤城おすすめノート2025/12/22 math

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ノートテキスト

ページ1:

教科書に載ってる証明問題
(説明しただけ)
【円周角の定理の利用】
問.右の図で、A, B, C, D は円周上の点で、
弧AB=弧 AC です。 弦AD, B の交点
をPとするとき、 △ABP ADB となりま
す。このことを証明しなさい。
P
●長さが等しい弧に対する円周角は等しい。
【証明】 ABPと△ADB において
B
D
共通な角より
共通な角
D
LBAP = ∠DAB ･･････ ①
弧AC =弧AB で、
円周角
等しい弧に対する円周角は等しいから
B
∠ABP= ∠ADB
…②
① ②より、 2組の角がそれぞれ等しいから
△ABP∽△ADB

ページ2:

問. 右の図で、 A, B, Cは円 0 の周上の
点で、BC は直径です。 ∠ABCの二等
分線をひき、 弦 AC, 円 0 との交点をそ
れぞれ D, E とします。
A
E
B
C
O
このとき、 ∠ABC=60度であれば、
△ABC∽△EDCとなります。
このことを証明しなさい。
●直径に対する円周角は90度/三角形の内角の和は180度

ページ3:

【証明】 △ABCと△EDCにおいて
弧 BC に対する円周角は等しいから
∠BAC= ∠DEC=90度
180-(90+60)
・①
三角形の内角の和は180度だから
∠ACB = 30度 ・・・ ②
A
E
D
仮定より
∠ABE = 30度 ・・・③
B
弧AEに対する円周角
弧 AE に対する円周角は等しいから
∠ABE = ∠ECD ・・・ ④
② ③ ④より
∠ACB=∠ECD = 30度 ･････⑤
①と⑤より、2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△EDC
C

ページ4:

問. 右の図で、 △PACと△PDBは
B.
相似であることを証明しなさい。
P
●同じ弧に対する円周角は等しい。
【証明】 △PACと△PDB で
共通な角だから
LAPC=LDPB ･･････ ①
弧 AD に対する円周角は等しいから
∠ACD= ∠ABD ･･････
②
① ②より、 2組の角がそれぞれ等しいから
,
△PAC∽△PDB
D
【余談】 △PAC∽△PDB で、相似な図形の対応する辺の比は等しいから
PA:PD=PC:PB
方べきの定理
PAxPB=PC×PD
っていいます

ページ5:

〖教科書章末問題】
3. 右の図で、A, B, C, D は円周上の点です。
弦BD 上に、 AB // EC となる点 E をとる
とき、
ACD∽△BEC となります。
このことを証明しなさい。
●平行線の錯角は等しい。
【証明】 ACDとABECにおいて
弧 DC に対する円周角は等しいから
LDAC=LCBE …1
AB // EC で、 平行線の錯角は等しいから
∠CEB=∠ABD ･･･②
EX
C
B
E
C
弧 AD に対する円周角は等しいから
LDCA=LABD ...③
三段論法
②と③より
B
∠CEB=∠DCA ･･････④
①と④より、2組の角がそれぞれ等しいから
△ACD∽△BEC