Question

あめ

α,β ∈C,S,T ∈B(H;H)に対して
(1) (αS+βT)^*=αS^*+βT^*
(2) (T^*)^*=Tの示し方を教えてくだい。

H をヒルベル空間とし, S, T ∈ B(H; H) とします
S=T^* ⇐⇒(Tf,g)=(f,Sg) ∀f,g∈H
このとき S を T の共役作用素といいます

ヒルベル空間 共役作用素

Answer 1

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Crystal Clear

(1)αの複素共役をα^*とする.
((αS+βT)f,g)=(αSf+βTf,g)=α(Sf,g)+β(Tf,g)=α(f,S^*g)+β(f,T^*g)=(f,α^*S^*g)+(f,β^*T^*g)=(f,α^*S^*g+β^*T^*g)=(f,(α^*S^*+β^*T^*)g)
よって　(αS+βT)^*=α^*S^*+β^*T^*

(2)
(T^*f,g)=(g,T^*f)^*=(Tg,f)^*=(f,Tg)
よって (T^*)^*=T

随伴作用素

あめ

なるほど💡ありがとうございます！！