Question

S

因数定理の疑問。

画像の7行目までを見てください。それ以外は無視して下さい。これを先生に見せたところ、「F(x)は（x-1）を因数に持たない」と言われました。何故ですか？

F(x)=0は任意のxに成り立つハズで、そしたらF(1)=0も成り立ち、因数定理より（x-1)を因数に持つことになりませんか？

nは自然数です。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

吉田さん

すごいですね！疑問も考え方も勉強しているからこそ出てくるものだと思います。素晴らしいですね！　　この場合①＝②から①－②＝0としているため、因数に持たない場合でも①の余りと②の余りが等しいため差をとると０になってしまいます。よってF(x)=0は任意のxに成り立ち、F(1)=0も成り立ちますが(x-1)は因数に持ちません。ちなみにF(2)もF(3)も０です。全てのｘにおいてＦ(x)=0となることからすべての因数をもつ…？という矛盾に気付いてもらえれば納得しやすいでしょうか…。(恒等式ですね)

S

では、この画像の5行目〜7行目の板書は間違いですか？

「nを自然数とする。X^nを（x-1)^2で割ったときの余りを求めよ。」という問題です。

この板書を書いた先生は「①-②をした式（②の条件を①に適用した式）が（x-1）で因数分解出来ることを事前に確認した。」と言っていました。

S

これです。

吉田さん

代入した式がないとわかりにくいですね。
証明としてx-1の塊が欲しいのですよね。４行目と５行目の間に以下の式のイメージです。

S

理解しました！回答ありがとうございます！

吉田さん

どのタイミングで因数にもつのかがわかるかという話なので、一番はじめの画像のAの式までいかないとわからない感覚ですかね。すべての項に(x-1)とおぼしきもの(今回はx^n-1)を作ってから断定ですね！