Question

YS

この問題の(1)までは解けたのですが、(2)が解けません😭
教えてください。
答えは(1)が3分の4、(2)が12分の5√10です
よろしくお願いします。

ラ·サール高★★
AB=BC=3, ZB=ZR である直角三角形ABC
がある。この三角形を,右の図のようにEFを折り月と
して折り曲げたら, 頂点Aは, 辺BC上の点Dに重なり,
BD=1 となった。このとき, 次の各問いに答えよ。
A
F
BEの長さを求めよ。
の EFの長さを求めよ。
B
C
D

Answer 1

LUX SIT

平面幾何の知識で解くなら, 直角二等辺三角形の旨味を利用したいところです. 相似を作れるような補助線の引き方を考えましょう.
***
(1) BE=xとします. A, E, Bはこの順に一直線上にあるからAE=AB-BE=3-x. またDEはAEを折り返したものなのでDE=AE=3-xです.
ここで三角形BDEは∠B=∠Rの直角三角形なので, 三平方の定理からBD^2+BE^2=DE^2⇔1^2+x^2=(3-x)^2⇔x=4/3と求まりました.
またAE=3-x=5/3です.
***
(2) ADとEDの交点をHとします. 折り返しなのでAD⊥EFであることに注意します. また△ABDは直角三角形でAD=√(1^2_+3^2)=√10です.
△AEHと△ADBについて∠Aを共有, ∠AHE=∠ABDなので△AEH∽△ADBがいえます. したがってEH/DB=AE/AD⇔EH/1=(5/3)/√10⇔EH=√10/6.
三平方の定理からAH=√(AE^2-EH^2)=√10/2と求まります. Dから斜辺ACへ垂線を下ろし, その足をIとします[発想は上の相似と同じです].
△CDIは∠I=∠Rの直角二等辺三角形なのでCI=DI=√2です. またAI=AC-CI=2√2です. 上と同様に△AFH∽△ADIがいえて, FH/DI=AH/AI.
すなわちFH={(√10/2)*√2}/(2√2)=√10/4です. E, H, Fはこの順に一直線上にあるからEF=EH+FH=5√10/12と求まりました.

LUX SIT

[訂正]
△AEHと△ADBについて∠Aを共有, ∠AHE=∠ABD=∠Rなので△AEH∽△ADBがいえます.
***
直角三角形の相似は共有角から攻めると上手くいくことが多いです.

YS

回答ありがとうございました😊
わかりやすかったです。