492 奇数列を群で分けるという問題です. (3)の2013もその中にあるのは自明でしょう[問題によってはチェック].
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(1) 第1群から第n-1群(n≧2)まで入る項の個数はΣ[k=1->(n-1)] (2k-1)=(n-1)n-(n-1)=(n-1)^2個です.
これから第n群の初項は第(n-1)^2+1項といえます. これはn=1のときでも成り立つことに注意しましょう.
したがって第n群の初項はa[(n-1)^2+1]=2{(n-1)^2+1}-1=2(n-1)^2+1=2n^2-4n+3です.
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(2) 第n群の最後の項は第n^2項でa[n^2]=2n^2-1です. 数列が公差2の等差数列で第n群に(2n-1)項含まれて
いることに注意すれば, S(n)={(2n^2-4n+3)+(2n^2-1)}*(2n-1)/2[{(初項)+(末項)}*(項数)/2]
=(2n^2-2n+1)(2n-1)=4n^3-6n^2+4n-1.
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(3) (1)の結果から2(m-1)^2+1≦2013<2m^2+1となるようなm[第m群]を探せばよく, m=32のとき, 1923≦2013<2049
で確かに存在します. 公差が2なので{(2013-1923)/2}+1=46. すなわち第32群の第46項であることが分かりました.
ありがとうございます
[注意&訂正]
公差が2なのでこの数列は(狭義)単調増加列, すなわちすべての自然数nに対してa[n+1]>a[n]です. 2013がこの数列にただ一つ
存在するのはこのことが理由です. [たとえばa[n]=2(m-100)^2+1のような数列{a[n]}を考えると1は2個存在します.]
このことをうまく避けるには下のように書けばいいでしょう[上の解答には(3)の最初で単調増加列である説明を加えましょう].
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a[m]=2m-1=2013⇔m=1007なので2013は数列の第1007項であるといえます[存在とただ一つあることを示しました].
(32-1)^2+1=962<1007<1025<(33-1)^2+1と(1)の結果から第32群にあることが分かります. その群の初項が第962項目なので
1007-962+1=46. すなわち2013は第32群の第46項であるといえます.