Question

かいと

わかる方教えてくださいお願いします。

レポート作成上の注意:
1.名前と学籍番号を書くこと。(成績処理の都合)
2.ファイル名は「Report4」とするのが好ましい。(全角文字はバグの原因になる)(成績処理の都合)
3. 採点者が読みやすい文字で書くこと。(採点の都合)
4.問題文は書き写さない。可能な限り一枚の(明るい) pdf にまとめること。(pdf 以外は減点します)(採点の都合)
3
*3
-1<zS1のとき log(1 + z) = r
となることが知られている。たとえばェ=1のとき
2
4
5
1
log 2 = 1-
2
1
1
3
4
となりェ=1/2のとき
log3- log2 = log(1 + 1/2) = 1
2
3
4
5
となる。
課題、関数 f(z) = log(1 + z) を考える。
となることを数学的帰納法を用いて証明せよ。
fo) (0)
(2) f(x)のェ=0におけるテイラー多項式 P,(r) = f(0) + f'(0)r +
2!
n を求めよ。
n!
(3) 0SS1とする。f(z) のn+1次の剰余項 Rn+1(x)を考える。テイラーの定理を用いて
lim Ra+1(x) = 0
を示せ。ここでn+1次の剰余項 R+1(z) とはf(x) - P,(z) のことである。
補足:(3) の主張は、0冬ぉS1のとき
f(z) = lim (P.(z) + Rn+1(r)) = lim P,(z) = f(0) + f(0)x+
2!
f"(O。
f)(0)
n!
2→
となることを意味する。
注意:多くの参考文献では、f(z) のn次の剰余項 R,(z)(= f(z) - P,-1(z)を考えている。注意すること。