✨ Best Answer ✨
[3](1)点Dが辺BCの中点であることから、
DC=BC/2
よって、
△ADC=△ABC/2
点Eが辺ACの中点であることから、
AE=AC/2
よって、
△ADE=△ADC/2
以上より、
△ADE=△ADC/2
=(△ABC/2)/2
=△ABC/4
=S/4
[3](2)中点連結定理より、
EF//BC⋯①
EF=BC/2⋯②
ここで、点Gが直線EF上、点Dが辺BD上にあることから、①より、
EG//BD⋯③
また、点Dが辺BCの中点であることから、
BD=BC/2
さらに、問題文よりEF=EGであるから、②より、
EG=BD⋯④
③,④より対辺が平行で長さが等しいので、四角形BDGEは平行四辺形である。
よって、その面積は、
四角形BDGE=2△BDE
となる。
△BDEの面積は(1)と同様の考え方で求められ、
△BDE=△BCE/2=(△ABC/2)/2=S/4
であるから、
四角形BDGE=2△BDE=2S/4=S/2
[3](3)AD,BE,CFの長さの線分を3辺に持つ三角形について考える。
(2)でやった通り、四角形BDGEは平行四辺形であるから、対辺の長さは等しい。
よって、
DG=BE
となり、DGはBEの長さの線分であることがわかる。つまり、△ADGのうちAD,DGの2辺がAD,BEの長さの線分である。よって、最後の1辺GAがCFの長さの線分であれば、△ADGが求める三角形であることがわかる。
まず、GA=CFとなることを示す。
四角形AFCGが平行四辺形であることを示せばよい。すなわち、
AF//GC, AF=GC
を示せばよい。
辺DEを間に挟むと証明できる。
D,Eに関して中点連結定理より、
AB//DE, DE=AB/2
FはABの中点だからAF=AB/2
よって、
AF//DE, AF=DE⋯①
次に、CG//DE, CG=DEを示す。
四角形CGEDが平行四辺形であることを示せばよい。すなわち、
EG//DC, EG=DC
を示せばよい。
F,Eに関して、中点連結定理より、
EF//BC, EF=BC/2
Gが直線EF上、Dが直線BC上にあることから、
EG//DC
EF=EGよりEG=BC/2
DはBCの中点だから、DC=BC/2
よって、EG=DC
EG//DC, EG=DCが示せたので、四角形CGEDは平行四辺形であるから、
CG//DE, CG=DE⋯②
①,②より、
AF//CG, AF=CG
となる。
したがって、四角形AFCGは平行四辺形であるから、対辺の長さが等しいので、
AG=CF
である。
よって、△ADGはAD,BE,CFの長さの線分を3辺に持つ三角形である。これの面積を求めればよい。
△ADG=△ADE+△DGE+△GAE
それぞれの面積を求めると、
△ADE=S/4, △DGE=S/4, △GAE=S/4
となるので、
求める面積=△ADG=3S/4
ありがとうございます！