Question

ログアウト済み

( ⅱ ) の求め方がよく分かりません。
n＝1 を代入して不等式を計算してみたのですが、4/3 ＜ Γ(1/2) ＜ π となって、範囲がガバガバで解答である √π が出ませんでした。

問題 5.ガンマ関数 T(r) = le- dy, x>0 について
(i) 任意の自然数nに対し, 次の不等式が成立する事を示せ。
1
T
2Vn
ru/2) <0+内→4
ーnt?
dt
(i) T()の値を求めよ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

哲治

Γ(1/2)=√πの導出とか理系大学１年なら常識レベルですよ。関連ページをアップしておきます。

ログアウト済み

( ⅰ ) の不等式を使って Γ(1/2) を求めることはできませんか？

哲治

使いません。
真ん中の等式部分がn=1でガウス積分になっているの気付きましたか？

ログアウト済み

あ、確かにそうですね。
てっきりその部分は計算出来ないものだと思い込んでいました。
ありがとうございます。

哲治

1番解いてないから知らないけれども。
この不等式の評価って面白いですね！
ガウス積分がこんな積分で両側からはさめるのは面白いですね！

ログアウト済み

この不等式の意味が分かりました。
実は、1つ前の大問4 ( ⅱ )（1枚目の画像）を利用すれば、不等式から Γ(1/2) の値が求まる、とCrystal Clear さんに教えて頂いたのです。
※ 大問4 ( ⅱ ) の結果（省略）から、n→∞ のとき、√n × I[2n] → √π / 2。

大問5 ( ⅱ ) を不等式を利用して解くと2枚目の画像のようになりました（書き方はかなりラフですが）。
かなり奥深いですよね…！

まさか1つ前の大問を利用するとは思ってもいなかったので、哲治さんには申し訳なかったです。

哲治

わざわざ返信ありがとうございました。
もちろん1番自体を置換積分で解くのは明らかなのでわかっていました。
前の問題自体はウォリスに公式が元ネタでしょうね。
前の問題自体も解いてはいませんが、目を通してはいました。
しかし、僕にはクリスタルクリアさんのように前問と本問の関連までは気付けませんでした。

哲治

本問もn→∞ではさみ打ちも考えてなくはなかったのですが、小問1番をきちんと解いてなかったのと、n=1がガウス積分なんで、それで秒殺でしょって思っていました。笑
それと階乗の一般化としてのガンマ関数の導入からの一連の流れが有名なのもありました。
僕個人が数学に魅了されたきっかけがガウス積分なんで。笑
だから小問１の不等式と小問二番が余計に自分の中で関連付かなかったですね。笑

哲治

すごく勉強になりました。ありがとうございました。