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(1) y'=2xより点Pにおける接線の傾きは2t,直線lの傾きをmとすると、傾き2tの接線と直交することより、
2t・m=-1 ∴ m=-1/2t
よって、直線lの方程式は
y-t²=m(x-t)
∴ y=-x/2t +t²+1/2
(法線の公式を知っていれば微分した段階で公式を適用して簡単に導ける解法 有)
(2)lとy=x²の点P以外の交点のx座標は
x² = -x/2t +t²+1/2
2tx²+x-2t³-t=0
(x-t)(2tx+1+2t²)=0
これより、x=-1/2t -t (=α)
したがって、t=βとおくと
S=∫(α→β) (-x/2t +t²+1/2-x²)dx
=-∫(α→β) (x-α)(x-β)dx
=1/6 (β-α)³=(2t+1/2t)³/6
(3)(2)の結果より、分子が最小になればSは最小となるので、2t>0より相加平均≧相乗平均の大小関係より
2t+1/2t≧2√(2t×1/2t)=2
等号は2t=1/2tすなわちt=1/2のとき成立。よって求めるSの最小値は
2³/6 = 4/3
間違えていたらすみません
分かりやすいです！ありがとうございます！