Question

天馬 雲

n≧2 をつける時とつけない時の違いってなんですか？

本例題105 an+i=pan+(n の1次式)型の漸化式
次の条件によって定められる数列 {an}の一般項を求めよ。
OOO00
a=3, an+1=2anーn
|基本 103, 104
HART O Sor
漸化式 an+1= pan+(nの1次式)(カキ1)
階差数列の利用 の
2 an+1-f(n+1)=Dp{an-f(n)} と変形
2の変形については右ページのズーム UPを参照。
下の解答は回の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。
lOLUTION
(解答
an+2=2an+1-(n+1),
an+1=2anーn
辺々引いて
! bn=an+1-an とおくと
an+2-Qn+1=2(an+1-an)-1
bn+1=26n-1
b=a2-a=(2-3-1)-3=2
bn+1-1=2(bn-1)
の
また
のから
-a=2α-1 を解くと
更に
bi-1=1
α=1
ゆえに,数列(bn-1} は初項1,公比2の等比数列となり
bn-1=1·2"-1
inf. bn=2"-1+1 を求め
た後は
すなわち
bn=2"-1+1
よって, n22 のとき
「an+1=2a,-n
lan+i-@n=2"-!+1
からan+1 を消去して
2"-1-1+(n-1)
n-1
an=a+2(2*-1+1)=3+
k=1
2-1
=27-1+n+1
an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
*n=1 とすると
a=3 であるから,この式は =1 のときにも成り立つ。
したがって
an=2"-1+n+1
別解 an+1=2an-n を変形すると
1
an+1-(n+2)=2{an-(n+1)}
a-(1+1)=3-2=1
ゆえに, 数列 (anー (n+1)}は, 初項1,公比2の等比数列と
an-(n+1)=1·2"-1
*この変形についてはあ
ページのズーム UPt
参照。
また
なり
したがって aカ=2"-1+n+1
0

よって,数列 (an-1} は, 初項3, 公比2の等比数列であるから
本例題
次の条件によって定められる数列 {an}の一般項を求めよ。
a=4, an+1=2an-1
D.494 基本事項1,2, 基本
SOLUTION
CHART
漸化式 an+1= pantq(pキ1, qキ0)
1 特性方程式 a=pa+q の利用…
2 階差数列の利用 の
OP0COM
のについて
an+1= pan+q(bキ1, qキ0) の形の漸化式から一般項を求めるには、
か.494 の基本事項2で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。
O において, an+1, an の代
an+1=2an-1
わりにαとおいた方程式 α=2α-1
対して,O-2 を計算すると
an+1=2a,-1
-) =2a-1
an+1-α=2(a,-C
2 に
an+1-α=2(an-α)
そこで,数列 {anla}(数列 {an} の各項からαを引いた数を項とする数列)を
考えると,公比2の等比数列であるから,まず, この数列 {an-a}の一般項在
求める。
2について(別解参照)
3 において, nの代わりにn+1とおくと
の)ま
an+1= pantq
an+2= pan+1+g
の-3から an+2-an+1=p(an+1-an) が得られる。
bn=an+1-an とすると bn+1=pbn となり、数列 {an} の階差数列(bal はきと
数列となる。
1, 2とも等比数列の形が導かれ,一般項を求めることができる。
解答
Dan+1=2an-1 を変形すると
*回の方針。
Q=2a-1 の解は
an+1-1=2(an-1)
ここで, bn=an-1 とおくと
canti-1=2(an-リ
2bn
数列(b)は,初項3,公比2の等比数列であるから
α=1
なお,この特性方
を解く過程は,解答
かなくてよい。
bnai z
bn+1=26n, bi=a-1=4-1=3
bn=327-1
an= bn+1=3.2"-1+1
よって
inf.
an+1=2an-1 を変形すると
また
an+1-1=2(an-1)
a-1=4-1=3
an-1=3·2"-1
a,=3·2"-1+1
ゆえに

Answer 1

✨ Best Answer ✨

グェスト

階差数列は最低でもふたつの項がないと比べられないから2以上。
それによって出された一般項はnが2以上の条件で定めたものだからnがら1の時も当てはまるか確認する。
一般項がnが1の時に当てはまらなければnが1の時とそうでないときで場合分けされたものが答えになる