Question

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(2)の解説の線を引いたところがわかりません。教えてください。

恒等式(n°+1)-(n+2) (n-2) =5 を利用して, n+2 と n'+1 の公
DISNEY KAMIO JAPA
16. 自然数nについて, 以下の問に答えよ。
14
約数は1または5に限ることを示せ。
(2)(1)を用いて,n+2 と n+1 が1以外に公約数をもつような自然数
をすべて求めよ。
(3)(1), (2)を参考にして, 2n+1 と n°+1 が1以外に公約数をもつような
自然数nをすべて求めよ。
中(
(袖戸士)

(2) n+2 と n。+1 が1以外に公約数をもつとき, (1)よりそれは5に限らな、
解法のポイント」
(3) 恒等式 4(n°+1) (2n+1)(2n-1)=5 を利用する
【解答】
(n?+1)-(n+2)(n-2)=D5
とする。
の
n+2 と n°+1 の公約数をdとすると,
n+2=da, n?+1=db
nds
を満たす自然数a, bが存在する。
のより,
db-da(da-4) =5.
お
kod{6-a(da-4)}=5.
b-a(da-4)は整数であるから, dは5の約数である。
よって, n+2 と n'+1 の公約数dは1または5に限る。
よって,
いに素
n+2=5k (kは自然数)
と表される。
このとき,
るあケ得式ー [+ .08
n+1=5k(5k -4)+5
=5(5k°-4k+1)
となり, n?+1 も5を約数にもち,n+2 と n'+1は1以外の公雑館
もつ。
よって,求めるnは,
dの
n=5k-2=5(k-1)+3 (k は自然数)は
すなわち, 5 で割ると3余るすべての自然数である。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブドウくん

(1)で与えられている恒等式に代入しているだけです。別にn=5k-2としてn²+1を計算しても同じ結果が得られます。