Question

寧々

平均値の定理を用いる問題について質問です。
この問題の解法としてはじめにf(x)＝xe^xとおいていますが、この関数はどこから考えたのですか？
このような証明問題に対する関数のおきかたについて教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

168 0<aくbのとき, (a+1)e"(b-a)< be"-ae" であることを示せ。
(岡山県立大)
S(x) = xe* とおくと, f(x) は x>0 で連続かつ微分可能であるから,
0<aくb のとき,区間 [a, b] で連続, 区間 (a, b) で微分可能である。
f'(x) = e* + xe* = (1+x)e* であるから, 平均値の定理により
be - ae"
この等式の左辺は, 関数
f(x) = xe* の
aSxSb における平均
変化率を表している。
= (1+c)e°, aくcくb
…0
b-a
を満たすcが存在する。
また
f"(x) =D e* +(1+x)e* 3 (2+x)e*
x>0 のとき f"(x)>0 より, S'(x) は x>0 の範囲でつねに増加する。
よって,0<a<cより
f'(x) が単調増加である
から,0<a<c のとき
f(a)<f'(c)
beo - ae"
0, 2より
6-a
b-a>0 より
(a+1)e°(b-a) < be"-ae"
両辺に6-a(>0) を掛け
る。

平均値の定理 微分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

哲治

右辺の形から明らか。a,bのところをxと見てる。

寧々

回答ありがとうございます。
なるほど、ゴールから逆算すればいいんですね。
助かりました！