Question

なないろ

(3)の問題です！
解説の画像の赤矢印の部分の計算がわかりません💦
分数全体をk乗しているので、分母もk乗されるべきなのではないでしょうか、、、？
教えてください🙇🏽

301 次の不等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ。
(n+1)³
* (1) nが自然数のとき 12+22+3+......+n²<
3 C
*(2)
が3以上の自然数のとき 3" > 5m +1
②
an+6n
(3)が自然数a>b>0のとき +b^2=(a+b)*
b)²
Par

(3) -z(a+b)"
an+bn
2
[1] n=1のとき
L
(左辺) = +6
=
(右辺) +6
2
2
よって, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つ, すなわち
ak + bk
3² ≥(a + b)²
2
2
と仮定する｡
n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると,
②から
ak+1
+6k+1
a+b\k+1
-(a+b)
2
2
+6k+1
a+b
2
.(a+b)"
2
2
2
a
+6k+1
a+b
ak+bk
2
2
2ak+1+20k+1 - al k+1-abk-akb-6k+1
4
ak+1 +6k+1-abkakb
4
(a-b)(ak-bk)
_
4
この式は, a b のときも, a b のときも0
以上になるから
ak+1 +6k+1
a+b\k+1
-=
2
2
よって,
のときにも ①は成り立つ。
n=k+1
[1], [2] から,すべての自然数nについて ① は
成り立つ｡
=
IIV
II
k+1
a
k+1
① とする。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ブドウくん

まず不等号なので、イコールである必要がないし、ここの変形では仮定②を使っています。

なないろ

なるほど！
完全に見落としてました💦
ありがとうございました！！