Question

とある数弱

このような問題でe^2xとsinxの近似している次数が違うんですが何故ですか
お願いします。

問題 次の極限を漸近展開を用いて求めよ.
(1+x) sin x - x cos x
x²
- COS X
x-0 x sin x
解答 (1) 0のとき, sinx=x+o(x2), cosz=1+o(z)であるから,
(1 + x) sin x-
xx COS X
x²
(1) lim
x-0
である. 故に,
である. 故に,
lim
x-0
sin x
ex²
lim
x →0
- cos x
ex3
xe
x sin x
(1+x) sin x - x cos x
x²
(2) x00, e²² = 1 + x² +0(x³), sin x = x + o(x²), cos x = 1 x²
-
2!
(3) 0のとき, e = 1+x+
から,
- COS X
x sin x
(2) lim
=
x²
x² +0(x²)
x²
= 1 + 0(x²)
=
(1+x)(x+o(x²)) - (1+0(x))
3x² +0(x³)
x² +0(x³)
lim
H-0
3x² +0(x³)
lim
x+0 x² +0(x³)
+o(x²), sinx = x -
+0(x³))
(1+z²+0(2³)) - (1-+0(2³))
x (x + 0(x²))
(x → 0)
hp
x²
(x → 0)
(1 + 0(2²)) = 1
2:3
(3) lim
3!
2+0(2³)
2-01+9+3)=
sin x- - XE
r=0_z(COST
lim
+ o(__)である。
3
2
+o(x³), cos x = 1 -
22
2!
(1 + x + — +o(x²)) + x²
+0(x³)