Question

てゃ

数II 曲線上の点と直線の距離
なぜ最小値を出すのに写真にあるように掛け算するかわかりません。お願いします。

140
00000
重要 例題 90 曲線上の点と直線の距離
CONT
放物線y=x 上の点P と,直線 x-2y-4=0 上の点との距離の最小値を求め
また,そのときの点Pの座標を求めよ。 50の距離を
HOPUN
指針 放物線y=x² 上の点Pの座標を (t, t) とおいて, 点Pと直線x-2y-4=0の距離
tを用いて表す。……. ① RESNAKAMBHOLOCE HEHOS
dはtの2次関数となるから、2次式 基本形に直す の方針に従って考える。
解答
Pは放物線 y=x 上の点であるから,
その座標を(t, t2) と表す。
点P(t, t2) と直線x-2y-4=0 の距
離dは
d=
|t-2t2-4|
√2+(-2) 2 √5
-
= 1 / ² (² - + -)² + ³1 |
2 31
8
|2t2-t+4|
2
31
=
+ √/ 5 (2 (1-1)² + 3³² )
このとき, 点Pの座標は
検討 接線の利用
2
YA
ly=x2
V
P
d
-21
よって, d は t t=1のとき 最小値 1 31 31√5
√5 8
40
1
4 16
x-2y-4=0
8 何でこの2つかけるの?
をとる。
H
基本88
点 (x1, y)と直線
K
ax+by+c=0 の距離dは
ax₁+by+c\
TOAT
2 (t-1/24) 31
+ ->0 である
から、絶対値記号を取り外
してよい。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

さんげん

まず1/√5は無視して考えると

2(t-1/4)^2+31/8ですが、

31/8も定数なので一旦無視します。

2(t-1/4)^2は2乗になっているので、絶対に0以上です。なので0が最小の値になります。これが0になるときに最小値をとるので、

元に戻して考えると

1/√5(0+31/8)となるため、答えのようになります。