Question

あや

数lll 281(1)
模範解答のマーカー部分の求め方がなぜ［］内のようになるのか教えてください。

281 次の関数のx=0 における連続性と微分可能性を調べよ。
*(1) x=0 のとき f(x)=x'sin 1
f(0)=0
9

os | sin = |
11/21s1x4
0≦x2sin
281 (1) 0≤
limx2=0であるから
lim
h→0
≤1 であるから
=lim
h→0
すなわち
lim x²sin -1- =0
x→0
x
すなわち
①
よって, limf(x)=0=f(0) となるから、f(x)
x-0
はx=0で連続である。
また
f(0+h)-f(0)
has
h²sin
h
ossin 1/12/21 であるから
≤1
h
us ate
1
h
lim | x 2sin.
x→0
lim|h|=0 であるから
lim
h→0
=lim
h→0
1
os|hsin|sh|
0≤hsin
=
=lim hsin
h→0
1
h
1/1
x
f(h)
h
h
lim hsin
h→0
=0
lim hsin :0
h→0
80% f(0+h)-f(0)_0
14
h
=0
②
したがって
=0
h
よって, f(x) は x=0で微分可能である。
Me

Answer 1

✨ Best Answer ✨

甘味

ここでははさみうちの原理を使って真ん中の極限を評価しています。
正弦関数の範囲より、|hsin1/h|というものは0と|h|ではさむことができるというのは解答に書いてある通りですが、ここで両辺をlim[h→0]にすると|h|の極限値は0となり、0と0にはさまれていることから、真ん中の極限値も0になるだろうということです。

あや

ありがとうございます！