Question

たたた

逆関数についてですが、y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると、y=f(x)が(a,b)を満たす時(b=f(a)のとき)逆関数の定義より、a=g(b)が成り立ち、またy=f(x)の逆関数はx=f(y)とも表せることから、a=f(b)とも表すことができると思います。以上のことからa=g(b)もa=f(b)もb=f(a)の逆関数を表していると思うのですが、a=g(b)とa=f(b)は全く別の関係式になっていて、同じ逆関数の式を表してないように感じ、それぞれb=f(a)の逆関数を表しているということに矛盾しているような気がします。(y=f(x)とy=g(x)が同じ関係式なはずではない)
なぜ、こうなってしまったのか(文中のどこに間違いがあるのか)詳しい解説おねがいします。