Question

Ryuka

導関数の最大最小の問題です
最後の最大最小のまとめ方がなぜこうなっているのかが分かりません。x=2で最小値-4などはどこから来たのでしょうか。
教えて頂きたいのです
よろしくお願いします🙇‍♀️

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例題 234 関数の最大・最小〔5〕･･･係数に文字を含む
よびそのときのxの値を求めよ。
a>0とする関数f(x)=x-3ax 0≦x≦3) の最大値と最小値, お
思考プロセス
Re Action 関数の最大･最小は, 極値と端点での値を調べよ 例題228
f'(x)=3x-6ax=3x(x-2a) であり
aの値が大きくなるとき,
グラフ全体が平行移動するのではなく,
極小値をとるx (2a) が右側へ動いていく。
問題を分ける
最大値と最小値を同時に考えるのは難しいから, 分けて考える。
(極小となる点を
区間に含む
最小値
最大値
x
f'(x) +
f(x) >
0
0
極小となる点を
区間に含まない /
･･･・･ (最小値)=(極小値)
/区間の両端での
値の大小を考える
f'(x)=3x²2-6ax=3x(x-2a)
f'(x) = 0 とすると
x=0, 2a
よって, f(x) の増減表は次のようになる。 YA
0
2a
0
+
-4a³7
ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。
最小値について
(ア) 3 <2a すなわちa>
f(x)はx=3のとき
最小値 27-27a
-
f(x) は x = 24 のとき
最小値-4
3
12/2のとき
3
(イ) 20≦3 すなわちaso2 のとき
***
/区間の両端での
値の大小を考える
境界となる
両端の値が等しいときを考える
0
U
0
-4a³
2a
x
2a 3
D
YA
O
2a
N
dara
2a
a>0 より 2 > 0
S
極小となるx = 24 を区
間 0≦x≦3に含むかど
うかで場合分けする。
3 245 = (-
次に, 最大値について
f(x)=f(0) となるxの値は
x-3ax² = 0 より
x2(x-3a) = 0
よって
(ア) 3 <3a すなわちa>1 のとき
f(x)はx=0のとき
最大値 0
x = 0, 3a
(イ) 3a = 3 すなわちα=1のとき
f(x) は x = 0, 3のとき
最大値 0
(ウ) 34 <3 すなわちa <1のとき
f(x)はx=3のとき
最大値 27-27a
a=1のとき
1<a ≤
3
2
3
2
R
O
<a のとき
-4a³
------
0
3a
0 3a3
以上より, f(x) の最大値と最小値,およびそのときのxの
値は
( 8 (0<a<1のとき
2a
のとき x=0で最大値 0
x
3.3g
3
x=3 で最大値 27-27a
x=2で最小値-4c
x = 0, 3 で最大値 0
x=2で最小値 4
x=2αで最小値-4α
x=0で最大値 0
x=3で最小値 27-27a
最大値となり得る極大値
f (0) = 0 と等しい値をと
るxの値を求める。
p.407 Go Ahead 16 の内
容を用いて, x = 3g を確
認できる。
(Svarar 1
aaa
0
2a 3a
x=3g を区間0x3
に含むかどうかで場合分
けする。
(ア) (イ) の最大値は一致
するが、 最大値をとるx
の値が異なるから, 分け
て考える。
分かりやすいように, 最
後に, 最大値と最小値を
まとめる。
Point... 定数を含む関数の最大･最小･
例題234 において、 場合分けを考えるとき, 固定された区間 0≦x≦3に対して, グラ
フを x = 24 や x=3α に着目し伸縮させて考
えた。
(最小値) (ア)
見方を変える
右の図のように、グラフを固定して,区間の端
点x=3を相対的に動かしても考えやすい。
(イ) (最大値) (ア)(イ) (ウ)
HUN
0 32a
0 3 3a3
5章 14 導関数の応用
練習 234a>0とする。 関数 f(x)=x-342x (0 ≦x≦1) の最大値と最小値, およ
びそのときのxの値を求めよ。
p.430 問題234
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