Question

ぷー

数列｛an｝をどうしてtn=(yn+z)×3^nのように置けるのでしょうか？

(3) 数列{an}をan = 2n3" とし, 数列{tn} を
(y, zは定数)
とする。 このとき
tn = (yn+z) 3
となるならば
an=tn+1-tn-(1)
P2n 3nH
=
= {y(n+1) + z}· 3n+1 − (yn+z).3″
{3y(n+1) +3z-yn-z}·3n
= (2yn + 3y + 2z).3"
① すなわち
したがって、Y)
V-[+) Z
2y = 2, 3y + 2z=000T)
33 + $y) +..
SYG
y = 1, z=-2 TV-ÖDTV
とすればよい。
かよって、tn = (n-12/2) - 3" とおくと
Σ2k3k
となる。
k=1
72
= Σ(tr+1 tk) = tn+1-t₁₂28
k=1
{(n+1)}.3.1(1号) 3
3
=
= (n − 1/2 ). 3n+¹ + ³/2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

すずお

{aₙ}=2n×3ⁿの2nがnの１次式だからです。
仮に｛aₙ｝が{aₙ}=2n²×3ⁿみたいなnの2次式だとしたら
{tₙ}=(xn²×yn×z}と置くことができます。

ぷー

ありがとうございます！
ちなみに{tₙ}=(xn²+yn+z}とはならないのはなぜですか？

すずお

おそらくこの問題は（１）と（２）でaₙ=tₙ₊₁−tₙと表せたら、
Σaₙ=Σ(tₙ₊₁−tₙ)で求めることができるよねってことを別の式や記号とかで証明か誘導をしてると思います。（違ってたらごめん🙇‍♀）

なので（３）ではaₙ=2n×3ⁿの時を考えましょうと言ってます。

そこでaₙをtₙで表そうと思ったときに、aₙをどうにか別の式で表そうと思った時に2n¹×3ⁿは（nの1次式）×3ⁿだなとわかるので、
tₙ=(nの１次式）×3ⁿと置いてあげます。
なのでtₙ=(yn×z）×3ⁿとなります。
ｔₙ=(xn²×yn×z）では、tₙはｎの2次式になってしまいます。

ぷー

理解しました！ありがとうございます🙇🏻‍♂️