正則行列Aの列ベクトルは互いに線形独立だから、rankA = n
反対にrankA = nなら、n個の線形独立なベクトルからなる行列Aは正則。
よってAが正則行列 ←→ rankA = n
detA != 0である正方行列Aは、階数がnになりますよね。
そもそも正則行列は、たくさんの性質をもっています。教科書をしっかりながめてみましょう。
http://physmath.main.jp/src/inverse-matrix.html
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一次独立だとrankA＝nになるんですか？