Question

高３

共通テスト/数学2B/第2問

タ の解き方を教えて頂きたいです。
よろしくお願いします🙇‍♀️

y =
第2問 (必答問題) (配点 30
ア
[1] 太郎さんは、ボールをゴールに蹴り込む
ゲームに参加した。
そのゲームは、 右の図1のように地点Oか
ら地点Dに向かって転がしたボールを線分
OD 上の一点からゴールに向かって蹴り込み,
地点Aから地点Bまでの範囲にボールが飛
び込んだとき, ゴールしたことにするという
ものであった。
13
B
A
3m 1
ル
xと表すことができる。
2m
(第3回 7 )
0
B
そこで太郎さんは、どの位置から蹴るとゴールしやすいかを考えることにした。
地点Oを通り, 直線 ABに垂直な直線上に, AB // CD となるように点Cをとる。
さらに,太郎さんは,Oを原点とし、座標軸を0からCの方向をx軸の正の方向。
OからBの方向をy軸の正の方向となるようにとり、点Pの位置でボールを蹴る
ことを図2のように座標平面上に表した。
A
ボールが転がされ、
ボールを蹴るライン
9m
図2
このとき, A(0, 2), B (0, 5) であり, ボールを蹴るラインを表す直線の方程式は
図1
3mi
(数学ⅡI・数学B 第2問は次ページに続く。)
太郎さんは,最もゴールしやすいのは、∠APB が最大になる地点であると考
えた。
∠APBが最大となる点Pの座標を求めよう。
Px,
ア
イ
である。
方向となす角をそれぞれα, B (1/2<B<<<12/2)とする。
このとき
tand=
tan (α-β)
(0<x≦9) とし、図2のように、 直線AP, BP がx軸の正の
X ウ
クケ x+
∠APB=α-β と表され, APBが夢になることはないから, tan (a-β)を考
えることができる。
1
クケ
さらに, tan (a-β)=
シス
x
5, tanβ =
カキ x
クケコサx+シス >0であるから, 0x≦9のとき tan (α-β)>0であ
る。
コサx+ シス
クケ x+
エオ
カキ
シス
XC
となり,
は最小値 セソをとる。
以上のことから,点Pのx座標がタ
コサ
と変形でき, 0<x≦9の範囲で
のとき, ∠APBは最大である。
(数学ⅡⅠI・数学B 第2問は次ページに続く。)
(第3回 8 )

[1]
第2問
.A (0₁2). B(0.5).
²-1² a 15 < APB IKE TO S It & P
ルレ
大
*/x. 3x) (0<x*9) A$AP. BPB XA# I ² = 1 4
zazna. B ( = <Benedes A ) Eas
t
APの傾き
BPの傾き
tan(d = p) =
tanta - B)
Tort
fr
90
X
x-0
32-5
X-0
22 10X
X-6
37
T
LAPB = α-BETTY = 1= 12 16 4 [+ ₁1 = Eplg. Tan (α-A) 273 2 5 4 3.
に
It
直線の方程式は11/12/
a
(図より)
90
X-6
3x
X-15
3x
X-6X-15
3x
bo
3x
#
min
27x
q x² + x² − 21 x + 90.
3
3x
2
10x² - 21x + 90 70 5Y₁ 0 < x≤ 9 ac ± tan (α-B ) > 0 2 7 30
27
10x + x -21
tand
tanf
1+
9
3x
(2-612-15)
x 97²
27x
(0x²=21x +90
と変形でき.ocx≦9の範囲で
KOKUYO

このとき, tan (α-β)は最大となり、0<α-B<より∠APBも最大
となる。
以上のことから,点Pのx座標が3のとき, ∠APB は最大である。
Point
| サッカーのゴールを見込む角度が最大となるような位置を、三角関数
を使って考察する問題である。
設問から解答の方針を読みとり 設問の順に沿って立式していこう。
tan (α-β) をxの式で表すと、
□x という複雑な形になるが、
xの2次式
90
分母・分子をxで割ることで分子が定数になり, 分母には10x+
xC
2(2).5-2 K
の
ように掛け合わせると定数になる2数の和の形が現れる。 このような
場合は相加平均と相乗平均の大小関係が利用できる。
-
TAH
ATTENTION !
相加平均と相乗平均の大小関 〔2-
は,不等式の証明だけでなく、
| 大値・最小値を求めるときにも有
効である。本問のようにつくった
式を変形してから使う場合もあ
るから,式の特徴をよく見て対応
できるようにしておこう。
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図形と方程式 三角関数 式と証明 加法定理 相加・相乗平均 数学2b 共通テスト