Question

もぷ

こちらのD＞0までは分かったのですが、なぜ全ての実数aに対してD＞0が成り立つ条件を考える時に図のような直線を元に考えるのでしょうか。また、ここで言う全ての実数aに対して、とは具体的にどういうことなのか分かりません。教えていただける方、よろしくお願いいたします。

Evid
53 面積 (2)
xy平面上に,放物線C:y=x2-5x+6と直線l:y=kax-a-5aがある
ただし, α, k は実数の定数とする.
(1) すべての実数a に対して, lがCと異なる2点で交わるような定数に
(2) (1)で求めた範囲にあって, Cとしで囲まれる図形の面積Sがαによら
の値の範囲を求めよ.
(一橋大)
(解答)
(1)
|y=x2-5x+6
|y=kax-a²-5a
①②からyを消去して整理すると,
x²-(ka+5)x+(a²+5a+6)=0
=4(k-2) (6k-13)
であるから, D2<0より、
③の判別式をDとすると,
D₁ = (ka+5) ²-4 (a²2+5a+6)=(k²2—4)a²+2(5k-10)a+1
であり、「すべての実数a に対して, lがCと異なる2点で交わる条件」は,
「すべての実数a に対して, D1 > 0 が成り立つ条件」
x=α
すなわち,
「すべての実数a に対して, (k²-4)a2+2(5k-10)a+1>0が成り立つ条件」
を考えればよい. ここで, f(a)=(k2-4)a2+2(5k-10)a+1 (=D1) とする.
(ア)²-4<0のとき
f(a)
f(a) は上に凸の放物線となり、条件を満たさない。
(イ)²40 すなわちんく - 2,2くんのとき
f(a) のグラフは下に凸の放物線である . f(a)
のグラフが横軸と共有点をもたなければよいか
ら, f(a) = 0 の判別式を D2 とすると,D2<0で
あればよい, よって,
-=(5k-10)²-(k²-4).1
=4(6k²-25k+26)
2<k<lo (k<-22<k を満たす)
(ウ)k=2のとき
C
x=B
f(a) = 1 であるから、すべての実数」に対して
A
(ア)²-4<0のとき
f(a)
(イ) k²4>0のとき
f(α) を平方完成して, 頂点に注目して考えるこ
ともできるが,平方完成の計算が大変なので、
判別式を利用した方がよい
> a
f(a)
→0
O
(ウ) k=2のとき
k=
f
以上よ
(2) ③
C
である
が成り
S
S
(1
解説
「6
挑戦し
試本番
本門
るが、
とき
であ
て扱
れを
文系

積分