Question

まなか

なんで無限等比級数の1/nの和は発散するのですか？1/nは無限に飛ばすとゼロになるから収束しないんですか？

Answer 1

和

(1/1)+(1/2)+(1/3)+……のことであれば、
無限等比級数ではなく、ふつうの無限級数です
（1/1, 1/2, 1/3,……は等比数列でないので

> 1/nは無限に飛ばすとゼロになるから収束しないんですか？
は、発散の理由としては誤りです
「数列が0に収束しない⇒級数は発散」は正しいですが、
数列が0に収束しても、級数が発散するかしないかはいろいろです

級数は、部分和の極限をとります
第2ᵐ項までで打ち切った部分和について
(1/1) + (1/2) +(1/3)+(1/4) + (1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8) + (1/9)+… …+(1/2ᵐ)
≧ (1/1) + (1/2) + (1/4)+(1/4) + (1/8)+(1/8)+(1/8)+(1/8) + (1/16)+… …+(1/2ᵐ)
= (1/1) + (1/2) + (1/4)×2 + (1/8)×4 +……+ (1/2ᵐ)×2ᵐ⁻¹
= (1/1) + (1/2) + (1/2) + (1/2) +……+ (1/2)
= 1 + (1/2)×m
→ ∞ (m→∞のとき)
なので、もとの無限級数は発散します

なお
1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)+.....
≧1+(1/2)+(1/4)+(1/4)+(1/8)+(1/8)+(1/8)+(1/8)+....
＝1+(1/2)+((1/4)+(1/4))+((1/8)+(1/8)+(1/8)+(1/8))+....
＝1+(1/2)+(1/2)+(1/2)+...→∞
という書き方は、部分和を使っていない感覚的な書き方で、
よろしくないと思います
「ふつうの感覚」がうまく機能しないから極限は難しいのであって、
こういう「簡単なイメージ」はどうかと思います

また、区分求積法のように面積からの定積分、
で示すこともよくあります

Answer 2

ととろ

｛an｝=｛1/n｝で Σan = Σ(1/n) のことを言っているのかと思いますが
an が収束するからといってΣanが収束するとは言えない
それと｛an｝は等比数列ではないのでΣanは無限等比級数ではない
です

ととろ

数学的に言うと「項(an)が 0 に収束することは、級数(Σ(an))が収束するための必要条件ではあるが、十分条件ではない」ということです。

Σ(1/n)がなぜ発散するか？はひと言で説明できるほどには簡単ではないですが、まずは調べてみて下さい