Question

たまご

数3の質問です、赤丸の極限の計算がいまいち分かりません！教えていただきたいです。

EX 関数 y=x * (1-x)-x (0<x<1) について,次の問いに答えよ。
③ 156 (1) yの導関数を求めよ。
(2)yのとりうる値の範囲を求めよ。 ただし、必要があれば, lim=1であることを証明なしに
用いてよい。
t+0
(1) 0<x<1よりy=x^(1-x) * の両辺は正であるから, 自然
[愛知教育大 ]
対数をとると
logy=logxx (1-x)=xlogx+(1-x)log(1-x) ins
両辺をxで微分すると でに増加し
= ()
Job
y = 1.10gx+x.
1
−1·1
y
x
+(-1)・log(1-x)+(1-x)・ 1-x
(1-1)(1+1)
=log1-x
よって
4)
y'=ylog]_x=x*(1-x)'*10g1-x
-9)
←
の公式を
-<1のとき<0
630-(0)
(1)11のときy> 0
x
1-x

(20<x<1であるから, y = 0 とすると
X
log==0...
1-x
1 0
よって
XC
1-x
= =1
これを解くと
x=
=1/2
ゆえに, 0<x<1におけるyの増減表は右のように
なる。大量
4(1+x)
t→+0
また, limt=1であるから lim y=1,
lim y=1
y'
x+0
x→1-0
da
したがって,yのとりうる値の範囲は
y
≦y<1
2
|1|2
|
0 +
12
1|2
1
7

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きぃ

まず、x^xは普通に1に近づきますね。

つぎに、1-xは+0に近づきますから、
(1-x)^(1-x)は+0^+0に近づきます。
ここで、問題文より、これが1に近づくとされてるので、

1✖️1で1に近づきます。
質問があればどうぞ。

たまご

ありがとうございます！！