Question

こんぺいとう

3sin2θ+4cos2θが5sin(2θ+α)になる理由がわかりません。教えていただけると嬉しいです

Answer 1

✨ Best Answer ✨

鯛のお造り

√[3²+4²]=5なので、3sin2θ+4cos2θを5でくくると、
　5･{(3/5)sin2θ+(4/5)cos2θ}
となって、(3/5)²+(4/5)²=1となるような組が作れます

なぜこんなことをするかというと、
　cos²α+sin²α=1
なので、この形にすれば
　3/5=cosα、4/5=sinα
となるようなαが存在するためです。このようなαは無限に存在するので、ここでは0≦α＜2πと制限しておきましょう。

先程の式に戻りましょう。cosαとsinαを代入すると、
　　5･{(3/5)sin2θ+(4/5)cos2θ}
　=5(sin2θcosα+cos2θsinα)

ところで加法定理より、
　sin(2θ+α)=sin2θcosα+cos2θsinα
ですから、
　5(sin2θcosα+cos2θsinα)=5sin(2θ+α)

すなわち、
　3sin2θ+4cos2θ=5sin(2θ+α)
(ただしαは、cosα=3/5、sinα=4/5　(0≦α＜2π)を満たす角)

これが答えになる問題なら急にαを出すわけにはいかないので、最後の但し書きは必須です

こんぺいとう

遅くなってすみません💦ありがとうございました🙇🏻‍♀️