Question

あ

数1の問題です。
「次の不等式を解け。|x^2+2x-5|<3」
上記の問題の場合分けの方法を教えてほしいです。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

どうしても場合分けしたいなら、いつもの通り
絶対値の中身が0以上か0以下かで場合分けです

x²+2x-5=0の解はx=-1±√6であることから、
x²+2x-5≧0やx²+2x-5≦0を解きます

(i)x²+2x-5≧0 ⇔ x≦-1-√6, -1+√6≦x……①
のとき、不等式はx²+2x-5<3
すなわち
x²+2x-8<0 ∴(x+4)(x-2)<0 ∴-4<x<2……②

①のもとで考えているので、
①かつ②から-4<x≦-1-√6, -1+√6≦x<2
これが(i)の場合の結論です

(ii)x²+2x-5≦0 ⇔ -1-√6≦x≦-1+√6……③
のとき、不等式は-(x²+2x-5)<3
すなわち
x²+2x-2>0 ∴x<-1-√3, -1+√3<x……④

③のもとで考えているので、
③かつ④から-1-√6≦x<-1-√3, -1+√3<x≦-1+√6
これが(ii)の場合の結論です

場合分けしたので、(i),(ii)の結論を合わせて答えです
-4<x<-1-√3, -1+√3<x<2です

☆☆☆

一般に|f(x)|<c ⇔ -c<f(x)<cなので、
|x²+2x-5|<3 ⇔ -3<x²+2x-5<3
です

-3<x²+2x-5かつx²+2x-5<3
を解けばよく、こちらの方が簡単ではあります