Question

ゆ

〰︎︎ぶぶんの中カッコの前、1/2^nはどこからでてきたのですか

332数学 B
練習 2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
③ 30
1
2' 4'
1 3 1 3 5 7 1 3 5
4 8' 8' 8 8' 16' 16'16'
について, 第1項から第100項までの和を求めよ。
15 1
16
'32'
[類岩手大 ]
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
2
3 135 71 3 5
4 8 8 8'816'16'16'
15
1632'
第k群には 2-1 個の項があるから,第1群から第n群までの
項の総数は
1+2+22+......+2″-1=
2"-1
2-1
=2"-1
第100項が第n群の項であるとすると
2"-1-1<100≦2"-1
①
2-1-1は単調に増加し, 261=63,2′-1=127 であるから,
①を満たす自然数nは
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって, 第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の項の和は
2n
{1+3++ (2-1)}=
土(2-1)}=1218/1/2327-11+(2"-1)}
=2n-2
更に、各群の番目の項の分子は2k-1である。
よって, 求める和は
6
Σ 2k-2+
k=1
==
2017 {1+3+......+ (2・37-1)}
1 26-1 1
22-1
= ..63+
1
2
+ ・・372
128
1369 5401
128
128
←初項1, 公比2,項数n
の等比数列の和。
←2-1=63
←
は第群の分子の
和で,初項 1, 末項 2"-
項数 2"-1 の等差数列の
←1+(k-1)・2=2k-1
←Σ2-2.2-
・2k-1
k=1
R=12
←1+3+5+..
+(2n-1)=n²

Answer 1

✨ Best Answer ✨

あ

n群の中身は、
1/2^n,3/2^n,…,2^n-1/2^n
なので、それらの和は1/2^nで括って、
1/2^n{1+3+…+2^n-1}になるってことです

ゆ

ありがとうございます！

Answer 2

ととろ

分数の和を求める時に、全体を1/2^nでくくっています