Question

れもん

赤線のように分かるのはなぜですか🙇🏻‍♀️
お願いいたします🙏

130 連立型漸化式
a=2,b=1, an+1=2a+bn (n≧1) ...... ①,
bn+1=an+2bn (n≧1) ...... ② をみたす数列{an},{bn}がある。
(1) an+bn=C とおいて, 数列{cn} の一般項 Cn を求めよ.
(2) an-bn=dとおいて,数列{d} の一般項 d を求めよ。
(3) an, bn をnで表せ.
精講
(1) an+ón を C とおくように指示されていますが,このとき
a+b を作るのではなく, 与えられた漸化式の一番大きいところ
つまり, an+1, bn+1 をみてgn+1+bx+1を作ろうと考えます。
すなわち, ①+② を作ります。
(2) ①②を作ります。
(3) an+bn=Cn, an-bn=dn より, an=-
=/12/2(cm+dn), bn=1/2(cm-dn)です。
Cn
解答
(1) ①+② より
an+1+bn+1=3(an+bn)
.
Cn+1=3Cn
ここで,C=a+b1=3 だから,
数列{C} は初項3, 公比3の等比数列である.
よって, Cn=3.3n-1=3n
(2) ①②より
(an+1+bn+1=C+1
an+1-bn+1=an-bn
よって, dn+1=dn, d=a-b=1 だから,
lan+1-bn+1=ds+1
|dn+1=1d
数列{dn} は,初項1, 公比1の等比数列である.
∴. dn=1・1"-l=1
注 dn+1=dn より,dn=dn-1==dとしてもよいし、
dn+1=dn+0 と考えて,公差 0 の等差数列と考えてもよい。
an+bn=3"
an-bn=1
......(3
・④

an=
2
2
参考
この問題では, ①+② と ① ② を作ると等比数列ができましたが、
もし、何も誘導がついていなかったら①,②の扱い方がわかりませ
ん.そこで,どうしたら ①+② ①-② を見つけてこられるのかお
話ししておきましょう。
①+② xpより, an+1+pbn+1=(2+p)an+(1+2p)6円
1:p=(2+p):(1+2p) が成りたつので,
ここで, 数列{an+pbn} が等比数列となるようなかを考えると
p(2+p)=1+2p
∴. p=±1
.. p²=1
よって, ①+② ① ② を作ると等比数列ができる。
入試問題の場合は,たいてい誘導がついていますから指示に従

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

「赤線のように分かるのはなぜか」
という問いであれば、答えは↓ですが、
これが聞きたいことでしょうか？

①+△×②で等比ができるような△を、
計算で突き止めたのです
この例では△=±1、
つまり①+②や①-②をやれば等比ができる
ということです

れもん

理解できました✨️！！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️！