Question

まかろん

式と証明の分野の問題で、模範解答の｢等号が成り立つのは〜｣の部分が分からないので教えてください🙇🏻‍♀️

a, b, x, y が実数のとき,不等式 √2+62+1√x2+y^+1≧|ax+by+1| が成り立つことを
証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
であるとき、 [類 岐阜聖徳学園大]
よ。 また、他の解を求めよ

両辺の平方の差を考えると
TER
(√√a²+b² + 1 √x² + y²+1)²−|ax+by+1|2
=(a²+b²+1)(x²+ y²+1)-(ax+by+1) 2
={(a²+b²)+1}{(x²+ y²)+1}-{(ax+by)+1}2
=(a²+b²)(x²+ y²) + ( a 2 +b²)+(x² + y²)+1
-{(ax+by)²+2(ax+by)+1}
=(a²x²+a²y²+b²x²+b2y2)-(a²x²+2abxy+b2y2)
+(a2-2ax+x2)+(62-2by+ y²)
=(a2y2-2abxy+b²x²)+(a−x)²+(b−
y)²
=(ay-bx)²+(a-x)²+(b− y)²≥0
よって
(√√a²+b²+1√x² + y²+1)²≥lax+by+1|2
√√ a² + b² + 1 √x² + y²+1≥0, lax+by+1|≥0 35
√√√a²+b²+1 √√x² + y²+1≥\ax+by+1|
等号が成り立つのは,ay=bx かつ a=x かつ6=y, すなわ
ちa=xかつb=yのときである。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

教科書にも似たようなことが書かれています
そのちょっとした応用です