Question

りんご

（2）についてなのですが、解答では角度ECAが90度となっているのですが、これは90度だと都合がいいから実際に求めてみて本当にそうだった感じですか？教えてください。

三角比の応用 三角形の面積, 余弦定理
16 すべての内角が 180° より小さい四角形ABCD
がある. 辺の長さが AB=BC =r, AD = 2r とす
る.さらに,辺 CD 上に点Eがあり、3つの三角形
△ABC, △ACE, △ADE の面積はすべて等しいと
D
[エ
E
C
(1) α = β を示せ.
する. α = ∠BAC, B= ∠CAD とおく.
βを
ka
B
A
r
(2) cos ∠DAB
3
=
であるとするとき, sin ∠CAE の値を求めよ.
5
〔東北大〕

C
△ABC は AB=BC=1の二等辺三角形だからB から ACに下ろした垂線
の足をMとすると
4
AC = 2AM = 2AB cos α =
√5
M
B
△ACD について余弦定理より
2
4
A
CD2 = 22 +
-2.2.
4 2
√√√5 √5
2
... CD =
√5
△ACD について余弦定理より
2
2
2
+
COS ∠ACD =
5
√5
2
2.
4
√√√5 √5
-
・22
= 0
∠ECA=90°
またACE = △ADE で,これらをCE と DE を底辺とみたとき高さが共通
よりCE = DE=
CD
1
したがって, △ACE について
2
√5
CE
tan ∠CAE =
=
AC
これより
sin CAE
√17
フォローアップ]
545-
√5
1
√5
||
1|4
✓17
4
∠CAE

解答
r=1としても示すべき内容, 求める値に影響を与えない。
(1)面積の条件より
2 x AABC = AACD
2
•
2
· AB AC sin α = 1
.AC. AD. sinẞ
2
(AB = 1, AD=2
>>> sin α = sin ẞ
.. α = β またはα=180°-β
α+β < 180° つまりα < 180°βだからα =β
(2)∠DAB=α+3=20 (<180°...①) だから条件より
cos 2α =
⇔
COS
5
cos² α = 4
3 <2 cos² α-1 = 3
5
①より0° <α <90° だから cosa 0
cos α = cos ẞ =
2
√√5

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ものぐさ

余弦定理でECAを出そうと思った動機ですか？

(1)でαとβが同じと言うヒントが与えられているので
ほんならADの中点をOとおいたらABCとAOCが合同でA,D,CはOを中心とする円周上の点だなぁって思うのとADが直径になるならACDは90度だなってのは問題解き始める前に気がつくレベルの図形的な知識です。

りんご

なるほど、全然気づけなかったです、、回答ありがとうございました！