Question

りんご

投稿が跨いでしまい申し訳ないです。
質問は一個目の投稿の3枚目の写真のピンクの蛍光ペンで線を引いてることについてで、ここに出題者の意図に合わない解答はダメと書いてあるのですが、今回の（3）の問題の解答（3枚目の写真の左下のアプローチのところの別解）で（1）、（2）の結果を使わないで解いていて、これは先ほどの投稿にあった出題者の意図に合わない解答なのではと考えてしまったのですが、違うのでしょうか？教えてください。

連立漸化式: 数列の剰余
35 自然数nに対して, 2つの数列{an},{bn} を
a₁ =1, b₁ =4, An+1 = 2an + bn, bn+1 = 4an − br
で定める.
bn
(1)an+1+tbn+1=k(an+tbn) がすべてのnについて成り立つよ
うな tkの値が2組ある. その値 (11, k1), (t2, k2) を求めよ。
(2) a, b をn で表せ。
(3)an が16で割り切れるのはn=4のときだけであることを示せ
〔大阪医科大〕

an+1=
(1)
2an+bn
①+t×②より
.. ①, bn+1=4an-bn
(2)
②
an+1+tbn+1= (2+4t)an + (1-tbn
これがk (an +tbn) に等しくなるためには, 1:t = (2+4t): (1-f) つまり
∴.4t2+3t-1 = 0 : t=1,1
2t+4t2 = 1-t
であればよく,このとき (t, k) = (-1,-2), (113)
(2) (1)から
(tk)=(-1,-2)
an+1-bn+1=(-2) (an-bn)
lan+1+1/2bn+1=3(an+1/6m)
(3)
④

③より {an-bn} は公比-2の等比数列, ④より
比数列であることがわかるので
{an +
11 bn'}
3等
以降16で割った余りに注目すると
SOM = "-1
an-bn=(a1-b1)(-2)"-1 =-3(-2)"-1
+1/26m=(a1+1/61) 30-1=2.37-1
2式の連立方程式を解いて
an=
8.3"-1-3(-2)"-1
5
8.3-1 +12(-2)-1
bn=
=
5
(3) a1, bı は整数であり, ak, bk が整数であると仮定すると①,② から
ak+1, bk+1 も整数となる. よって, 帰納法により 「an, bn は整数である
(n=1, 2, 3, ...)」.
具体的に a1,a2, 3, 44 を求めると
となる.
1, 6, 12, 48 = 16.3
―17≧5のとき, n-1≧4だから(-2)-1は16=24で割り切れるので
●だなっと
5an=8.3"-1-3(-2)"-1=8(奇数) + ( 16 の倍数)
となる.これより5aは8で割り切れるが16では割り切れない.58
は互いに素だから, n ≧ 5のときan は8で割り切れるが16では割り切れ
/ない.
ーる 以上合わせて4が16で割り切れるのはn=4のときだけである.
フォローアップ
☐
1.()で漸化式で定義された数列の性質(例えば正であるとか奇数とか)の
証明は帰納法を用いることが多いと述べました。その形にもちこむなら与え
られた漸化式から{bn}を消去し{an} だけの漸化式に変えるか, a b を
16で割った余りを同時に考えていく必要があります。 前者の解法で考えて
みます。
これを②に代入すると
別解 本解答の①よりbn=an+1-2an,bn+1=an+2
-
an+2 = an+1 + 6an
a1 = 1, b1 = 4 と ① より a2= 6
これと (*) より α3 = 12,44=48= (16の倍数)
2an+1
=
as=a4+6a3= (16の倍数) +6.12 (16の倍数) +72
= (16の倍数) +8
=
a6=as+6a4 (16の倍数) +8 + 6 × (16の倍数 )
= (16の倍数) +8
=
a=46+6a5 (16の倍数) +8 + 6 × { (16の倍数)+8}
= (16の倍数) +56 = (16の倍数) + 8
以降同様に ak, ak+1 が 8 余るならば ak+2 も 8余ることがいえる. した
がって、帰納法によりn≧5のときan を16で割った余りが8であること
がいえる.
以上合わせて,a が 16で割り切れるのはn=4のときだけである。
また、この最後のところを合同式で表すと、次のようになります:以下合
同式は mod 16 で考えることにして, ak = 8, ak+1=8ならば,(*) から
ak+2=ak+1 +6ak=8+68 = 8 + 16.3 = 8
☐
これとasa68から, 帰納法によりa=8 (n≧5) がいえる.
このように「求めたい・考えたい数列」 の漸化式に作り変えるというのは
大切な作業です。さらに一般項が求められる漸化式でも,求めない方が証明
しやすいことが多いです。 次の例題は簡単に漸化式を解くことができて、そ
れを利用しても証明できますが、 求めない方が簡単でしょう.
01=
1
3' , an+1 33an+1(n=1,2,･･･) によって定められる
=
{a}について, 3"an は整数であるが3"- 'an は整数でないことを証明
せよ.
《解答》 bn=3"an, Cn=3n-1an (n≧1) とおく. 与えられた漸化式の両
辺をそれぞれ3"+1,3倍すると
bn+1=bn+3, Cn+1 = C +3"
n≧1のとき3n+1, 3" はともに整数である. b1 = 1, G1 = - だから by は
整数であるが c1 は整数でない. さらに 「bk は整数であるがck は整数でな

Answer 1

✨ Best Answer ✨

らい

前提として、出題者の意図と異なる解き方でも、論理が間違えていなければ減点されることはありません。

左下のアプローチの部分も、最初に「（ハ）の解き方を用いるとすると」と書いてあるので、あくまで別解を紹介しているだけです。

(1)(2)がなく(3)から出題される問題であれば、左下の解き方で進めていくと思います。

りんご

なるほど、ありがとうございました！