Question

ミニオン

a＝6a′と置いたんですが解答とは違っているのですが、この方法でも解けますか？

次の (A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし,
a<b <c とする。
(A) a, b, c の最大公約数は6
(B) bとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144-
(C) aとbの最小公倍数は240
(Bitb=246
C=24cとおける
ただし、おとどは互いな自然数で
b'< c
最小公倍数は144より
24bc1=144
b'c = 6
よって(Vc)=(1,6)(2,3)
したがって(b,c)=(24,144) (48,72)
(A) Fa=bal とおく、ただしa'2k(kは白)
(C)")
a'b=240.
(1)b=24のとき
a = 10
このとき ①不適
74.5
482
(11) b=48のとこ
a'=5
このときの=30で①を満たす
まって(a,b,c) = (30,48,72)

(B) の前半の条件から,b=246′, c=24c′ と表される。
解答 ただし、B', c'は互いに素な自然数で
b'<c' ... ①
(B) の後半の条件から
24b'c'=144 すなわち 'c' = 6
◄gb'c'=1
これと ① を満たす b', '′ の組は
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
ゆえに
(b, c)=(24, 144), (48, 72)
b=24b', c=24c
(A) から, αは2と3を素因数にもつ。
また, (C) において 240=24.3.5
[1] b=24(=2･3) のとき, aと24の最小公倍数が240
であるようなαは a=24・3・5
これは, a<bを満たさない。
13つの数の最大公約数は
6=2.3
240=2･3･5
[1] 6=23.3
[2] b=48(=24･3) のとき, aと48の最小公倍数が240
であるようなαは a=2.3.5
[2]
ただしp=1,2,3,4
α <48 を満たすのはp=1の場合で,このとき a=30
30,48,72の最大公約数は6で, (A) を満たす。
以上から
(a, b, c)=(30, 48, 72)
6=24.3
これからαの因数を考
える。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

希

その解き方でも大丈夫です。しかし、記述が不十分な箇所が見られます。

(A)より、a = 6a'とおく。ただし、a' ≠ 2k (kは自然数)

という記述についてです。前半はいいのですが、後半は(A)のみでは言えません。(B)の性質を使わないと言えません。なので、

(A)より、a = 6a'とおく。このとき、a' = 2k(kは自然数)とするとaは12で割り切れ、(B)よりb,cも12で割り切れる。よってa,b,cの最大公約数は12以上である。これは(A)に矛盾するので、a' ≠ 2k(kは自然数)

と書くとよいです。

Answer 2

和

条件(A):a,b,cの最大公約数は6
からa=6a' (a'≠2k, kは自然数)、とはいえないと思いますが…

a=6a', a'≠2k, kは自然数ということは、
a'は2,4,6,…でない、ということです
aは自然数なので、a'は1,3,5,…（正の奇数）です
つまりa=6,18,30,…です

「a,b,cの最大公約数は6」から
「a=6,18,30,…」といえる理由がよくわかりません
たとえばa=18のとき、
a,b,cの最大公約数は6より大きい可能性もあるのでは？