Question

Keisuke Honda

③のlim［x→∞］ y/x=a（有限確定値）で…
このとき何故y=ax+bが漸近線であると言えるのかわからないので教えてください。

基本 例題 106 曲線の漸近線
曲線 (1) y=
x3
x2-4
スの調べ方
00000
(2) y=2x+√x²-1 の漸近線の方程式を求めよ。
/p.180 参考事項 ①~③
指針
前ページの参考事項 ①~③を参照。 次の3パターンに大別される。
① x軸に平行な漸近線
limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
② x軸に垂直な漸近線
→8
18
→ または → -∞ となるxの値に注目。
③x軸に平行でも垂直でもない漸近線
limy]
x8x
=α (有限確定値)で
lim(y-ax)=b (有限確定値) なら, 直線 y=ax+bが漸近線。
818
(x→∞をx→ -∞ とした場合についても同様に調べる。)
(1) ② のタイプの漸近線は、分母= 0 となるxに注目して判断。 また, 分母の次数
>分子の次数となるように式を変形すると, ③のタイプの漸近線が見えてくる。
(2) 式の形に注目しても、 ① ② のタイプの漸近線はなさそう。しかし, ③ のタイプ
の漸近線が潜んでいることもあるから,③の極限を調べる方法で漸近線を求める。

微分

Answer 1

ふぃる

グラフy=f(x)がxが十分大きいところである直線に近づく(x→∞における漸近線が存在する)ということを数学的に表現すると、
lim[x→∞](f(x)-(ax+b))=0になる有限値a,bが存在するということです(y=ax+bをx→∞における漸近線という)。このとき、
(ax+b)/x→aより、
f(x)/x = (f(x)-(ax+b))/x+ (ax+b)/x→a
また、f(x)-ax = (f(x)-ax-b)+b→b
が成り立ちます(必要条件)。
逆に、f(x)/x→aかつf(x)-ax→bとなる有限値a,bが存在するとき、当然f(x)-(ax+b)→0が成り立ちます(十分条件)。
以上より、
極限f(x)/x→a,f(x)-ax→bが存在すれば、漸近線が存在してそれはy=ax+bに限ると言えます。

Answer 2

ととろ

x→∞の極限でy→∞であるということは
y=ax+b は x→∞で ∞=a×∞+b
有限のbは∞と比べてうんと小さいので無視できる

lim[x→∞](y/x) = a [∞/∞が有限確定値]
だけでは漸近線は確定せず
lim[x→∞](y-ax) = b [∞-∞が有限確定値]
の2つの条件から漸近線が y=ax+b であるといえる
ということを説明しています