Question

のあ

赤線がどうなってるかわかりません。

C 不等式の証明
ink
応用
例題
6
nを4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
2"> 3n
考え方 n≧4であるから, 次のことを示す。
[1] n=4 のとき,不等式が成り立つ。
[2] k≧4 として, n=kのときの不等式 2>3kが成り立つと仮定
すると,不等式 2k+1>3(k+1) が成り立つ。
証明
この不等式を (A) とする。
Jei
[1] n=4 のとき
左辺 = 24 = 16,
(A)= [s]
右辺 = 3・4=12
よって, n=4 のとき (A) が成り立つ。
[2] k4 として, n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち
2k > 3k
が成り立つと仮定する。
[+d=
n=k+1 のときの (A) の両辺の差を考えると
2k+1-3(k+1)=2.2-(3k+3)
+DE+ (S+
>2.3k-(3k+3)
=3(k-1)>0
2k+1 > 3(k+1)
すなわち
第1章
23k より
k≧4 より
k-1>0
よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, 4以上のすべての自然数nについて (A) が成り
立つ。
終

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

必ず仮定の式は使います
また、何を示すかを認識します（ここでは「>0」）

そういう観点で見てもらうと、
変形の方針はわかりやすいかと思います

のあ

3kは自力で頑張って見つけるしかないですか？

和

仮定 : 2ᵏ > 3kの「3k」のことでしょうか？

だとしたら、この不等式は問題の証明すべき不等式の
nをkに置き換えたものなので、
「見つける」という動作はまったくいりません

のあ

なるほどです！あと、水色のとこはどうやって計算してますか？>の前の式はつかわないんですか？

和

展開して整理するだけです
2×3k -3k -3
=6k-3k-3
=3k-3

「>」も、意味が違うだけで「=」と同じ使い方をしています
「>」のあと2×3k -3k -3になったのだから、
>の前の式は使いません

のあ

>は=ではないのにかってに変えちゃっていいんですか？

和

勝手に変えているわけではありません

値が同じままの変形なら「=」を使うし、
値が小さくなる変形なら「>」を使います

たとえば
3+2 = 5
という変形と
5 > 4
という変形を混ぜれば
3+2
= 5
> 4
というような表記になります
これと同じです

2×2ᵏ -3k -3をより小さくしたので
> 2×3k -3k -3としています
これを、等しいまま変形したので
= 3k-3と書いています

のあ

>のあとの式が0よりおおきいから>の前の式も0より大きいと求めてるんですか？

和

その通りです

要は、A = B = C > D = Eのように変形していて、
最後のEが0より大きいから、
それよりも大きいAやBやCも0より大きい、
ということです

本問でいえば、2ᵏ⁺¹-3(k+1) = …… > 3(k-1)で、
最後の3(k-1)は0より大きいから、
それよりも大きい2ᵏ⁺¹-3(k+1)も0より大きい、
ということですね

のあ

わかりました。
あと、そもそもの話なんですけど、なんで（A）の両辺の差をもとめてるのに、わざわざ3kに変形してるのかがわかりません。そのまま計算はできないんですか？

和

できないから、いろいろ工夫しているんですよ

3kと5kとかなら、差をひとまとめにできるし、
2ᵏと2ᵏ⁺¹とかでも、差をひとまとめにできます
2ᵏと3kはひとまとめにできません
これまでできましたか？　できなかったはずです

Answer 2

長飛丸とら

ヒントです