Question

めめろんぴーつ

解説ではユークリッドの互除法を使用しているのですが、いまいち良く分かりません。
教えていただきたいです。🙇‍♀️

44 (1)不定方程式7x-5y=1の整数解を整数を用いて表せ。
(2) 不定方程式 12x+7y=1の整数解 (x, y) をすべて求めよ。
[16 摂南大 ]
[類 16 東京電機大] 5

ユークリッドの互除法

Answer 1

ブドウくん

このくらいならユークリッドの互除法は不要です。

7x-5y=1を満たす整数の組を1つ見つけるとx=3, y=4です。つまり
7x -5y =1　①
7×3-5×4=1　②
となり
①から②を引くと
7(x-3)-5(y-4)=0
7(x-3)=5(y-4)
5と7は互いに素なので
x-3=5m
と表せて、x=5m+3
これを①へ代入すると
7(5m+3)-5y=1
35m+21-5y=1
5y=35m+20
y=7m+4

12x+7y=1を満たす整数の組はx=3とy=-5です。同じようにやれば答えは出るのでやってみてください。