Question

Keisuke Honda

加速度のx成分？を求めるときに、①をtについて微分してy成分を求めたように、③をそのままtについて微分して求めてはダメなのですか？

重要 例題 125 運動する点の速度・加速度 (2)
00000
曲線xy=4上の動点Pからy軸に垂線PQ を引くと,点Qがy軸上を正の向き
に毎秒2の速度で動くように点Pが動くという。 点Pが点 (22) を通過する
ときの速度と加速度を求めよ。
基本123
指針 x,yは時刻tの関数である。(x,y)=2のときの
dx dy
d²x d²y
の値に
dt' dt'
dt²' dt²
対して、点Pの速度はv=d/t.co/l
dx dy
d²x
d²y
加速度は
dt² dt²
まず陰関数の微分 (p.136 参照) の要領で xy=4の両辺をもについて微分する。
x, y は時刻の関数であるから,xy=4の両辺を につい
① : 毎秒2の速度とあるか
ら,tの値に関係なく
dx
解答 微分すると
dy =0
•y+x..
...
(*)
dt
dt
dy
条件から
=2
①
dt
dx
よって
•y+2x=0_
②
dt
dx
x=2, y=2とすると
-2
③
dt
ゆえに、点Pの速度は
dy
=2(一定)
dt
(xy)'=x'y+xy'
dx
- ・2+2・2=0
dt
「平面上の動点の速度はベ
d2y=0,
dt2
d²x
dt2
dx
dx dy
*y+
•
dt
dt
dx dy)=(-2, 2)
(///)-(22)
また,①②の両辺を tについて微分すると, それぞれ
+24
クトルで表される。
(x'y'=(x^)'y+xy
=x"y+x'y'
+2. =0
dt
d²x
y=2と①, ③ を代入すると
=4
dt2
d²x d²y
よって、点Pの加速度は
=(4.0)
dt2' dt2
平面上の動点の加速度も
ベクトルで表される。
21
2

数学ⅲ 微分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

フラッグ

①は、tが何であろうとも成り立つ式です。
(問題文の1行目から2行目を注意深く読んで下さい)
③は②にx=2、y=2を代入して得られた式です。
tが特定の値のときにしか③は成り立ちません。
d^2x/dt^2はdx/dtを「tで」微分しなければなりません。
そのためには②の両辺を「tで」微分するしかうつ手がありません。③の両辺を微分する、というのではないのです。
分かりにくくてすみませんm(_ _)m
質問は遠慮なくどうぞ。

Keisuke Honda

回答ありがとうございます。

tが特定の値のときしか③は成り立たない　と言うのはどういうことですか？

フラッグ

繰り返しになりますが、③は②にx=2、y=2を代入して得られた式です。指針に「x、yは時刻tの関数」と書いてありますね。一般論で恐縮ですが、定数関数を除き、関数がある決まった値を取るには、変数を表す文字に具体的な数を代入しなければなりません。だから、tの関数xが2であり、tの関数yも2であるとき、tは (どんな値かはともかく)決まった値のはずです。そんなとき、③は成り立つのです。tが特定の値のときにしか③は成り立たないと申し上げたのは(分かりにくかったかもしれませんが)そういう意味だったのです。難しいですか？分からなければ、ご面倒でも再質問してくださいm(_ _)m

Keisuke Honda

③の式は関数ではないため、この式をさらに微分することは出来ないということですか？

フラッグ

③は、関数が特定の値をとるという意味の等式であるから、この式の両辺を微分しても
「d^2x/dt^2はこのような関数である」というような情報は得られない、ということです。
本問およびその解答では、関数そのものと、それが特定の値をとるときの記号が区別されていないので、紛らわしくなっています💦普通、関数をf(x)と書き、x=1のときf(1)と書きますが、本問ではそうはなっていませんね。

Keisuke Honda

理解できました。ありがとうございました。