上
都合上、縦で並べます。
(b−c)(x−a)(y−a)
+(c−a)(x−b)(y−b)
+(a−b)(x−c)(y−c)
＝(b-c)(xy−a(x+y)+a²)
+(c-a)(xy−b(x+y)+b²)
+(a-b)(xy−c(x+y)+c²)
これを展開しますが、係数ごとに考えます。
xyの係数は、
{(b-c)+(c-a)+(a-b)}xy
となるので、xyの係数は0になります。
(x+y)の係数は、
{-a(b-c)-b(c-a)-c(a-b)}(x+y)
となるので、こちらも(x+y)の係数は0になります。
残りは、
(b-c)a²+(c-a)b²+(a-b)c² ですが、
これをaについて整理します。
(b-c)a²-(b²-c²)a+bc(b-c)
＝(b-c)a²-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
＝(b-c){a²-(b+c)a+bc}
＝(b-c)(a-b)(a-c)
となるので、上の答えは
＝(a-b)(b-c)(a-c)
もしくは、
-(a-b)(b-c)(c-a)
下
(a+b+c)³-(b+c-a)³-(c+a-b)³-(a+b-c)³
b+c-a＝x、c+a-b＝y、a+b-c＝z
とすると、
x+y+z＝(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)
＝a+b+c
となるので、
与式＝(x+y+z)³-x³-y³-z³
と置き換えができます。
さらに
＝(x+y+z)³-x³-(y³+z³)
として、a³-b³＝(a-b)(a²+ab+b²)
などの公式で因数分解して、
＝(x+y+z-x){(x+y+z)²+x(x+y+z)+x²}
-(y+z)(y²-yz+z²)
＝(y+z)(3x²+y²+z²+3xy+2yz+3zx)
-(y+z)(y²-yz+z²)
y+zでくくって
＝(y+z)(3x²+3xy+3yz+3zx)
＝3(y+z)(x²+xy+yz+zx)
＝3(y+z){x(x+y)+z(x+y)}
＝3(y+z)(x+y)(x+z)
＝3(x+y)(y+z)(z+x)…※
b+c-a＝x、c+a-b＝y から、x+y＝2c
c+a-b＝y、a+b-c＝z から、y+z＝2a
a+b-c＝z、b+c-a＝x から、z+x＝2b
これを※に代入して、
＝3×2c×2a×2b
＝24abc