x>0という条件をつけなくていいのはなぜですか？？例えば⑴の[2]のとき、もしxがマイナスになってしまってとき、x<2の条件を満たしてるけど成り立たなくないですか？
基本 例題 41 絶対値を含む方程式
3
次の方程式を解け。
(1) |x-21=3x
指針
(2)|x-1|+|x-2|=x
絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。 それには,
A (A≧0 のとき)
|A|=
-A ( A < 0 のとき)
00000
であることを用いる。 このとき, 場合の分かれ目となるの
は, A = 0, すなわち, | |内の式 =0 の値である。
(1)x20x-2<0, すなわち,
x≧2とx<2の場合に分ける。
(2)2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの
値は,それぞれ1, 2であるから,x<1,1≦x<2,2≦x
の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。
(1) [1] x≧2 のとき, 方程式は
(2)
x-2<0
x-2≥0
x-10x10
2
x
場合の分かれ目
x-2=3x
解答
これを解いてx=-1 x=-1はx≧2を満たさ
ない。
[2] x<2のとき, 方程式は
-(x-2)=3x
これを解いて x=
11
2
1
2
x= はx<2を満たす。
[1], [2] から, 求める解は
x=
2
重要!
場合分けにより,||を
はずしてできる方程式の
解が、場合分けの条件を
満たすか満たさないかを
必ずチェックすること
(解答の の部分)。
1
1章
41次不等式
=a2+20
2202
7(115)
33
y 55
(2)
1331
135
136
(2) [1] x<1のとき, 方程式は
すなわち
-2x+3=x
-(x-1)(x-2)=xx-1<0, x-2<0→
これを解いて x=1 x=1はx<1を満たさない。
[2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x
これを解いて x=1 x=1は1≦x<2を満たす。
[3] 2≦x のとき, 方程式は (x-1)+(x-2)=x
すなわち 2x-3=x
これを解いて x=3 x=3は2≦xを満たす。
以上から, 求める解は
x=1,3
最後に解をまとめておく。
- をつけて||をはず
す。
x-1≧0, x-2 < 0
<x-1>0, x-2≧0
最後に解をまとめておく。
y=|x-2|のグラフと方程式
yy=3x
y=|x-2|
①
検討
(1)について y=x-2は, x≧2のとき y=x-2,
x<2のとき y=-(x-2)
PLUS
ONE
であるから, y=|x-2のグラフは右の図の① (折れ線) であ
る(p.118 参照)。 折れ線y=|x-2| と直線 y=3x は,x座標
がx=-1の点で共有点をもたないから, x=-1が方程式
|x-2|=3xの解でないことがわかる。
20
-10
練習 次の方程式を解け。
41_(1) 2x-1|=3x
(2)2|x+1|-|x-3|=2x
2
2
2x=4 という「方程式」は x=2 の時にしか成り立たないですよね
-(x-2)=3x が成り立つ x を、x＜2 の範囲で見つけなさい、という問題